Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

28 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 23-25.
e3 bildet mit s einen Winkel gleich dem Neigungswinkel c, der
Ebene E gegen rTT. So kann man auch e3 zeichnen mittels des Winkels cl,
ohne daß man P"' in der vorhin gegebenen Art sucht. Diese Konstruktion ist in der Figur enthalten (hauptsächlich wegen der umgekehrten
Aufgabe am Schluß des Paragraphen); die in TT3 liegende Spurnormale
erster Art von E ist durch Drehung um ihre Grundrißprojektion in 5TT
umgelegt wie bei dem einen Verfahren von ~ 15 (Fig. 24). Auf der
so bestimmten Geraden e3 findet man dann P"', Q"' und R"' völlig gleichartig; der Aufriß P"Q"R" des Dreiecks oder eine direkte Höhenbestimmung eines der Punkte P.. R sind dann für die Konstruktion ganz zu
entbehren.
Jetzt spielen P'Q'R' und P"' Q"'R"' dieselbe Rolle wie in ~ 22
Grund- und Aufriß des Dreiecks. Daraus ergibt sich die weitere Konstruktion, die in der Figur enthalten ist.
Ist umgekehrt die Umlegung PoQoRo gegeben, so kann man
die Spur s der dritten Projektionsebene senkrecht zu e, passend annehmen. e3 ergibt sich, wie im vorletzten Absatz besprochen ist. Auf e3
findet man P"', Q"' und R"', daraus folgen P', Q' und R'. Endlich ergibt sich der Aufriß des Dreiecks entweder mittels Spurparallelen aus dem
Grundriß, oder man erhält ihn aus den im Seitenriß enthaltenen Höhen.
~ 24. Weitere Angaben über Umleguigen. Die Umlegung einer
in E gegebenen Figur in den Aufriß durch Drehung um e2 bietet nichts
Neues. Sie ist unbedingt vorzuziehen, wenn außer den Ebenenspuren nur
der Aufriß des Dreiecks gegeben ist. Überhaupt ist bei einer gerade
vorliegenden Aufgabe immer zu prüfen, welche Art der Umlegung sich
am besten eignet; vergleiche die ausführliche Besprechung eines Beispiels in den ~~ 3, 4 des VII. Abschnittes.
Außerdem sei jetzt schon bemerkt, daß man für ein durch
beide Projektionen gegebenes Dreieck, dessen Ebenenspuren
nicht unmittelbar bekannt sind, die wahre Gestalt nicht durch
Drehung um eine Spur seiner Ebene bestimmt, sondern auf andere
Weise, nämlich durch Drehung um eine Spurparallele erster oder zweiter
Art bis zum Parallelismus mit TT1 bzw. 1TT. (X. Abschn. ~ 9). Denn
selbst, wenn die Spuren der Ebene des Dreiecks günstige Lagen annehmen,
ist ihre Benutzung umständlicher und weniger genau als der eben angedeutete Weg.
~ 25. Der Winkel zweier Geraden. Sind zwei Geraden g und h gegeben, die einen Punkt P miteinander gemein haben, und ist der Winkel
der beiden Geraden gesucht, dann betrachtet man das Dreieck, welches
aus P und den beiden Grundrißspurpunkten von g und h gebildet ist.
Die wahre Gestalt dieses Dreiecks wird durch Umlegung in TT1 bestimmt,
was nur die Umlegung von P selbst um die Verbindungslinie von G,