Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 20-21. II. Abschnitt. Die Ebene und inI ihr liegende Punkte und Geraden. 25
Die beiden Dreiecke heißen zueinander affin, genauer perspektivisch
affin, und ei heißt die Affinitätsachse. Ein ähnlicher Zusammenhang besteht übrigens im Raum zwischen den Dreiecken P Q und Po Qo o. Näher
wird auf die perspektivische Affinität später eingegangen (im IV. Abschnitt).
Die Affinität zwischen P'Q'R' und P0Q0Ro kann zum Konstruieren
der Umlegung P0oQRo in folgender Art verwendet werden. Man legt
nur einen Punkt um, und zwar, um möglichst genaue Figur zu erhalten, den von ei entferntesten Punkt P. Dies ist in der Figur nach
~ 17 ausgeführt; kürzer ist das Verfahren vom ~ 18. QO folgt dann auf
PoW als Schnitt mit der Verlängerung des von Q' auf er gefällten Lotes.
qR ergibt sich entsprechend auf PoV. Wenn P V durch das von R' auf e1
gefällte Lot zu spitz geschnitten wird, dann muß die durch Ro gehende
Gerade Q U mit verwendet werden zur genauen Bestimmung des Ro. Dazu
braucht man U möglichst genau. Deshalb ist in ~ 19 schon angegeben
worden, wie man dies erreicht. Nur hierzu ist der Aufriß des Dreiecks
nötig, in vielen Fällen kann man ihn danach entbehren.
~ 21. Bestimmung der Projektionen einer in E liegenden Figur
aus der Umlegung. Sind e e, e und die Umlegung Po0Q0R eines in E
liegenden Dreiecks gegeben und sucht man dessen beide Projektionen, dann
verfährt man so (Fig. 25): Wird das Dreieck um die Spur e, als
Drehungsachse zurückgedreht, bis es in die Ebene E kommt, so gelangt
das von PO auf e, gefällte Lot PoF in die Lage PF. Der Grundriß
hiervon, P'F, steht senkrecht zu er und ist gleich PF. cos cC oder
P0F. coso, wo uc der Neigungswinkel von E gegen TT1 ist. Man braucht
darum diesen Neigungswinkel; er ist in der Figur nach ~ 15 durch Umlegung der in F endenden Spurnormalen FG bestimmt. Weiter ist FP,
auf der Umlegung FG, gleich FPo gemacht und hieraus P' bestimmt.
PP' ist die Höhe von P und liefert P". Die weitere Konstruktion des
Dreiecks P'Q'R' unter Benutzung der Affinität zu PoQ0oR bietet nichts
Neues.
Man kann aber auch Q' und R' direkt konstruieren, ähnlich wie P'.
Dazu sind die von QO und Ro gefällten Lote zu verlängern um Stücke,
welche gleich ihren mit cosca multiplizierten Längen sind. Um Q' zu
erhalten, braucht man bloß den senkrechten Abstand des Q, d. h. des Qo,
von er auf FG, von F aus abzutragen und von dem Endpunkt eine
Parallele zu e1 zunächst bis zum Schnitt mit FG' zu ziehen.l) Der
Schnittpunkt mit FG' hat von F den gesuchten Abstand. Dieser Abstand ist auf die Verlängerung des von Qo gefällten Lotes zu übertragen.
Dazu wird einfach die zu e, gezogene Parallele bis zum Schnittpunkt mit
dem Lote verlängert, d. h. von Anfang an so weit durchgezogen. Weiter
1) In der Figur ist dies weggelassen, um nicht zu viele Linien zu haben.