Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

356 Anhang. ~~ 14-16.
Reisen sehr wichtig. Übrigens sollte der Mathematiker, besonders der
Lehrer, schon aus anderen Gründen das Kartenlesen verstehen.
~ 15. Einige mathematische Betrachtungen über topographische
Flächen. Topograph-ische Flächen sind die in der Natur durch die Formen
der Erdoberfläche gegebenen Flächen. Für mathematische Betrachtungen
nimmt man sie in angemessener Verkleinerung. Ferner muß man natürlich
manche Einschränkungen bezüglich des Funktionscharakters der Ordinaten
machen, genau wie z. B. in der Krümmungstheorie. Dort wird auch nicht
an Flächen höchster Allgemeinheit gedacht, sondern es liegen, wenn man
etwa von z = f(x,y) ausgeht, eine Reihe einschränkender Voraussetzungen
über diese Funktion und ihre Differentialquotienten vor.
Besonders wichtig ist der Verlauf der Niveaulinien (Isohypsen) und
der Linien stärksten Gefälles in den topographischen Flächen. Es handelt
sich um zwei i. a. zueinander orthogonale Kurvensysteme. Aber die
Niveaulinien sind ihrer Natur nach in sich zurückkehrende, geschlossene
Kurven, die Gefällslinien haben anderen Charakter.
Zunächst sollen einige ausgezeichnete Punkte und Linien betrachtet
werden.
Zu den Punkten mit horizontalen Tangentialebenen gehören
die Gipfelpunkte. Dort ist die Fläche elliptisch gekrümmt und nach unten
konkav. Die entsprechenden Punkte mit horizontaler Tangentialebene,
mit elliptischer Krümmung und mit Konkavität nach oben kommen als
tiefste Stellen von Mulden vor und treten demnach seltener auf. Drittens
gibt es horizontale Tangentialebenen bei Sattelpunkten. Höhere singuläre
Fälle mögen von der Betrachtung ausgeschlossen bleiben. Das Flächenstück in der Umgebung eines Gipfelpunktes oder Muldenpunktes läßt sich
im wesentlichen durch ein Stück eines oskulierenden elliptischen Paraboloids ersetzen. Ebenso kann die Nachbarschaft eines Sattelpunktes der
topographischen Fläche als kleines Stück eines hyperbolischen Paraboloids
betrachtet werden. Demnach enthält der ~ 11 alle wesentlichen Angaben
über den Verlauf der Horizontalkurven und der Linien größten Falles in
der nächsten Umgebung von Gipfelpunkten, Muldenpunkten und Sattelpunkten. Besonders ist hervorzuheben, daß eine Niveaulinie nahe unterhalb eines Gipfelpunktes ellipsenartig ist und in allen ihren Punkten
rechtwinklig von Gefällslinien durchkreuzt wird, und daß dennoch in
den Gipfelpunkt die Gefällslinien nicht in allen möglichen Richtungen
einlaufen.1)
~ 16. Fortsetzung. Kammlinie und Tallinie (Talweg) in den einfachsten Fällen. Von einem Gipfel ziehe ein Bergrücken nach einem Sattel
1) Wiener II, S. 391 Mitte hat in dieser Beziehung eine falsche Angabe. Dadurch wird seine spätere Behauptung von der eindeutigen Fortsetzung einer Gefällslinie über einen Gipfelpunkt hinweg hinfällig. Auch sonst sind dort einige Fehler.