Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

352 Anhang. ~ 11
für jeden Flächenpunkt das in der Fläche liegende Linienelement stärkster
Neigung. Ein auf der Fläche herabgleitender schwerer Punkt bewegt sich
nicht auf einer solchen Linie, deshalb kann das häufig gebrauchte Wort
Falllinie zu Mißverständnissen führen.- Die Grundrisse der Linien
größten Falles sind nach ~ 27 im II. Abschnitt die Orthogonaltrajektorien
der Grundrisse der Horizontallinien.
Wegen näherer Untersuchung der Linien größten Falles muß auf
Bücher über Infinitesimalrechnung und Flächentheorie verwiesen werden.
Hier sollen nur in Rücksicht auf spätere Anwendungen einige Angaben
über diese Kurven beim Ellipsoid und den Paraboloiden folgen. Die
Flächen seien:
x2 y2 z2 2 y2 X2 y2
a + b2 + 2 a2 + b2 -
(bei vertikaler z-Achse). Die Grundrisse der Horizontalkurven bei der
ersten und zweiten Fläche bilden je ein System konzentrischer und ähnlicher Ellipsen mit gemeinsamen Symmetrieachsen; beim Ellipsoid ist die
Kurvenschar begrenzt, beim elliptischen Paraboloid unbegrenzt. Die einzelnen Kurven für gleiche Höhenintervalle sind in beiden Fällen natürlich
verschieden, aber die ganzen Kurvenscharen sind (bei denselben Werten
von a und b) identisch, abgesehen von der Begrenzung. Die Grundrisse
der Linien größten Falles sind demnach ebenfalls identisch, bis auf die Begrenzung. Die Fig. 160, Taf. XI, zeigt den Verlauf der Grundrisse für
2 2
die Horizontalkurven und für die Linien größten Falles von z -= + —2
bei.a > b. Zu beachten ist besonders, daß die Grundrisse der Fallinien
aus der y-Achse und aus einem Kurvensystem bestehen, dessen einzelne
Kurven alle im Koordinatenanfang die x-Achse berühren.1) - Fig. 161
x, yS
gibt die entsprechenden Kurvensysteme für die Fläche S = -a - Jede
Gefällslinie außer den beiden parabolischen Hauptschnitten bleibt ganz in
einem Quadranten der Fläche.
Die Grundrisse der Horizontalkurven beim betrachteten Ellipsoid oder
bei jedem der beiden Paraboloide gehen durch Ahnlichkeitstransformation
ineinander über, wobei das Ahnlichkeitszentrum im Koordinatenanfang
liegt. Daraus folgt, daß auch die Grundrisse der Linien größten Falles
durch solche Ahnlichkeitstransformation ineinander übergehen. Dasselbe
1) Durch den Punkt X", y0 geht eine Ellipse der Schar 2 -b- = 2. Für die
zugehörige Tangente findet man den Richtungskoeffizienten — -. Damit hat man
a YO
dy a2.y dy a2 d x
fir die Orthogonaltrajektorien die Bedingung -- + b --- oder - ==y - -' Indx 12 *x y b2 x
tegration liefert y- C x, wobei k = a2: b2. - Beim hyperbolischen Paraboloid
kommt man auf demselben Weg zur Kurvenschar y = C x-k, k =-a2: b2.