Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 10-11. V. Kotierte Projektion. 351
~ 10. Horizontalkurven (Niveaulinien) bei mathematischen Flächen.
Zur Darstellung einer krummen Fläche in kotierter Projektion denkt man
sich die Fläche durch eine Reihe von Horizontalebenen geschnitten, man
zeichnet die Grundrisse der Schnittkurven und gibt die zugehörigen Koten
an. Meist benutzt man Horizontalebenen mit gleichen Abständen. Beispiele bieten die Flächen zweiter Ordnung, bei denen man am einfachsten
eine Hauptebene wagrecht nimmt.
Eine andere Fläche, für welche man aus der kotierten Projektion
eine gute Vorstellung erhält, mag noch genannt werden. In einer Besprechung von Joachimsthals Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der Flächen und der Linien doppelter
Krümmung hat Darboux auf einen singulären Fall bei der Durchdringung
einer Fläche mit einer Tangentialebene aufmerksam gemacht.l) Später
fand Stäckel diesen Fall selbständig wieder und gab nähere Ausführungen
dazu.2) Dabei hat Stäckel die Fläche z- ay2 + bx3 für geeignete Werte
von a und b durch ein System äquidistanter Niveaukurven dargestellt,
wodurch die Durchdringung mit der singulären Tangentialebene z = 0
sehr anschaulich wird. - Wenn man diese Niveaulinien in vergrößertem
Maßstab jede für sich auf gleich starke Pappstücke aufträgt und die Pappstücke entsprechend diesen Kurven abgrenzt, so kommt man durch richtiges Zusammenfügen zu einem guten Modell der Fläche. Auf die Dicke
der Pappe kommt es wenig an, eine Änderung des Maßstabes der Ordinaten (eine Änderung des Faktors von z in der Gleichung) ist unwesentlich.
Das Modell wird noch besser, wenn man statt der treppenförmigen Absätze geneigte Böschungen herstellt, durch Ausfüllen mit Wachs u. dergl.
Außerdem kann man die Durchdringung der Fläche mit der Tangentialebene z = 0 dadurch deutlicher machen, daß man statt der einen Pappschicht eine gleich starke Glasplatte nimmt, deren obere Seite der Tangentialebene entsprechen soll. Ein dünnes aufgeklebtes Papierstück gibt
durch seinen Rand die Schnittkurve der Fläche und der Tangentialebene.
Übrigens ist die Fläche als Gipsmodell im Schillingsehen Verlag.3)
~ 11. Linien größten Falles bei mathematischen Flächen. Die Orthogonaltrajektorien des Systems aller Horizontalkurven einer Fläche heißen
Linien größten Falles, Linien größten Gefälles, Gefällslinien. Sie geben
1) Darboux, Bulletin des sciences math. et astron. Bd. IV (1873) S. 36, 37.
2) Zeitschr. f. Math. u. Phys., Bd. 51 (1904), S. 96-100.
3) Beiläufig sei bemerkt, daß die Gipsmodelle von Flächen zweiter Ordnung
dieses Verlags auf Originalen im Modellkabinett der Münchner technischen Hochschule
beruhen, welche in folgender Art entstanden sind. Systeme von ebenen Schnitten
parallel zu den drei Hauptebenen sind in Zinkblech ausgeführt und zusammengefügt.
Dieses Gerüst der Fläche ist mit Papiermache ausgefüllt und dann ist eine glatte
und regelmäßige Oberfläche hergestellt, bei welcher die Blechränder überall sichtbar sind, ohne hervorzutreten.