Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

326 Anhang. ~ 3.
findet daraus den Stundenwinkel und die Höhe. Drittens bieten A und h
für t = 900 Interesse. In den drei genannten Fällen hat man es jedesmal
mit besonders einfacher Figur zu tun und findet aus ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Formeln für die gesuchten Stücke. Das soll nicht
weiter ausgeführt werden. Dagegen werden jetzt aus der allgemeinen
Figur von ~ 1 Formeln für das Azimut und die Höhe bei bekannten
(P, 6, t abgeleitet.
In Fig. 150 ist für den Kugelradius als Einheit
OM = sin, M1 = cos, S~S" = cos 6( sint, MS" = cos 6. cos t.
Berechnet man noch die Orthogonalprojektionen von OM und MS"
auf eine vertikale und eine horizontale Gerade, so kennt man den Höhenunterschied und den Horizontalabstand zwischen 0 und S". Daraus folgen
die Formeln
sin = sin ' sin (p + cos d cos gp ~ cos t, (1)
ctg A - cos 6 sin cp - cos t - sin cos cp (2)
ctg A = cos ~ sin t (2)
Die erste Formel gibt unmittelbar t aus bekannten p, 6 und gemessenem h, während die zweite Formel für die Zeitbestimmung aus dem
Azimut eine goniometrische Gleichung zwischen cost und sin ist. Über
ihre Auflösung vergleiche man z. B. Hammer, Trigonometrie und Hammers
Abhandlung über Zeitbestimmung (Uhrkontrolle) ohne Instrumente, Stuttgart, Metzler, 1893.
Nennt man die Kulminationshöhe des Sternes Ht, dann hat man aus
der Figur die Proportionalität von sin H- sin h mit S"C, d. h. mit
cos 6 ~ sin vers t = cos 6 ~ (1 - cos t), was für die Berechnung von t gut
logarithmisch zu machen ist. - Ferner ist O'S' = cos h, und O'S' sin A
ergibt sich aus der Figur gleich S"S0, damit hat man
cos h ~ sin A = cos 6 ~ sin t. (3)
Die aufgestellten Formeln für sin h, ctg A und ebenso die letzte
Formel erhält man auch leicht aus dem sphärischen Dreieck Zenit, Pol,
Stern, die erste Formel ist der Kosinussatz, die letzte der Sinussatz, die
zweite ist die dritte Eulersche Hauptformel aus dessen elementarer Entwicklung der sphärischen Trigonometrie. Legt man der Betrachtung von
~~ ff. statt der Punkte Z, P, S die Ecken eines allgemeinen sphärischen
Dreiecks zu Grunde, so kommt man natürlich entsprechend zu den Grundformeln der sphärischen Trigonometrie.
Wenn man statt der darstellend-geometrischen Figur ein einfaches
räumliches Modell benutzt, so lassen sich daraus die früheren Formeln
leicht mittels ebener rechtwinkliger Dreiecke entwickeln, am leichtesten
die für den Zusammenhang zwischen h und t. Die Zeitbestimmung aus