Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

302 Zweiter Teil. Schiefe Parallelperspektive und Axonometrie. ~~ 13-15.
Beweis aus dem Kolleg von H. A. Schwarz genannt. - Der 40. Band
derselben Zeitschr. (1909) bringt a. S. 156-158 einen Beweis von W. Weber
mittels Vektorenrechnung für den Gaußschen Satz, außerdem den Übergang
vom Gaußschen zum Weisbachschen Satz.
~ 14. Der isometrische und der dimetrische Fall der axonometrischeln
Orthogonalprojektion. Bei der isometrischen Projektion sind die drei Verkürzungsverhältnisse t, g, v einander gleich (und gleich / =3 0,816 1));
auch die Achsenbilder schließen miteinander gleiche Winkel, von je 120~,
ein. Das Bild eines Würfels, dessen Kanten zu den Koordinatenachsen
parallel sind, hat als Umriß ein regelmäßiges Sechseck, und die drei sichtbaren Flächen des Würfels stellen sich als kongruente Rhomben dar. In
dieser Projektion sind übrigens die Bilder von Körpern, deren Hauptrichtungen den Koordinatenachsen entsprechen, ziemlich unnatürlich.
Die dimetrische Projektion ist durch die Gleichheit zweier Verkürzungsverhältnisse charakterisiert. Anwendung findet hauptsächlich der Fall
l: m: n - 1: 2: 2, was, == — /2 = 0,471, i = v = - 2 -= 0,943 gibt
Das Bild der x-Achse schließt mit den Bildern der y- und der z-Achse
gleiche Winkel ein, bei vertikalem Bild der z-Achse geht das Bild der
x-Achse nach links unten unter dem Winkel 410 241-', und das Bild der
y-Achse geht nach rechts unten unter dem Winkel 7~ 11' gegen die Horizontale. Die Bilder in solcher dimetrischen Projektion sehen besser aus
als isometrische, stehen aber den nachher zu betrachtenden erheblich nach.
Die Figur 146a auf Tafel XI zeigt einen Würfel in dieser Projektionsart.
Wesentlich ist, daß unter den beiden Achsen mit gleichem Verkürzungsverhältnis die z-Achse enthalten ist. Wollte man die Verkürzungsverhältnisse der beiden wagrechten Achsen gleich machen und das Verkürzungsverhältnis für die n-Achse doppelt so groß (was einer schwächeren Verkürzung bei der z-Achse entspricht), wollte man also 1: m: n = 1: 1 2
nehmen, so entstände ein weniger anschauliches Bild.
~ 15. Besondere Fälle der trimetrischen Projektion. Jede orthogonale
axonometrische Projektion mit drei ungleichen Verkürzungsverhältnissen
heißt trimetrisch. Schon in ~ 3 wurde ausgesprochen, daß man gern
Verkürzungsverhältnisse verwendet, welche zu einfachen Zahlen, mn, n
gehören. Solche Wertsysteme sind z. B.
5, 9, 10
6, 17, 18
4, 5, 6
6, 7, 8.
1) Bei finfstelligem Rechnen und richtigem Beurteilen der von den abgerundeten
Zahlen herrührenden Unsicherheit treten Zweifel über die Richtigkeit der letzten
Stelle auf. Oft ist man eben auf größere Logarithmentafeln angewiesen.