Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 12-13. XXV. Abschnitt. Axonometrie. 301
Die Achsenbilder der orthogonalen axonometrischen Projektion für
Verkürzungsverhältnisse 4, 1, v, die sich wie l:: n verhalten, schließen
demnach dieselben Winkel miteinander ein, wie die inneren Winkelhalbierenden in einem Dreieck mit den Seitenlängen 12, nm2, 2.1)
Dieser Satz wurde zuerst von Weisbach aufgestellt.2). Ein anderer
rechnender Beweis findet sich im Anhang der Schlömilchschen Analytischen Geometrie des Raumes. Die dort stehende Konstruktion der
Achsenbilder mag besonders hervorgehoben sein. Ferner sollen Wiener
und die darstellende Geometrie von R. Sturm genannt sein (2. Aufl. 1900,
S. 143-146), dann die Arbeiten von Böttcher und Versluys in der von
Hoffmann begründeten Zeitschrift für math.-naturwiss. Unterricht. Band 25
(1894), S. 9-20 und Band 27 (1896) S. 334-338.
Weil die Winkel t - 90~, V - 90~,: - 90 den halben Winkeln in
einem Dreieck mit bekannten Seiten entsprechen, hat man nun auch für
ihre Tangenten aus der ebenen Trigonometrie sofort die Formeln
tg ( 900)- 1/ - i2) ( 2- = n')
g )- t i(12+ m2+ n2)(_12+ m2+ u2)
(fl 900) _ l /(s12 +r mn2+ n2). (12+ m2 - n2)
t (4 - /(-12 + - 2- + 2)' (12 -t-n2 + 2)
tog ( - 900) - /(- -22'+ n)
( ( ( 2 +??t 2+ fl 2). + _ 22 1 2 + X- 2
13. Der ausce (12 m+Satz 2) (12d+ _ - ono)e
~13. Der Ganßsche Satz über die orthogonale axonometrische Projektion. Neben dem Weisbachschen Satz ist noch ein Satz von Gauß zu
nennen, der sich ohne Beweis in seinem Nachlaß fand. (Werke II, S. 309 unten.)
Er lautet einfach: Bei orthogonaler axonometrischer Projektion sind die
Projektionen von drei Einheitsstrecken, welche auf den rechtwinkligen
Koordinatenachsen liegen, Vektoren mit der Quadratsumme 0. Will man
das Wort Vektor und den Begriff des Vektorproduktes vermeiden, so kann
man in der Bildebene der Projektion ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit dem Mittelpunkt 0 einführen; dieEndpunkte der drei von 0
ausgehenden Bilder der Einheitsstrecken auf den Achsen im Raum geben
dann drei komplexe Zahlen mit der Quadratsumme 0. In Band 17 (1886)
der Hoffmannschen Zeitschrift S. 492-498 gab Holzmüller einen elementaren und interessanten Beweis dieses Satzes unter Heranziehung einer
darstellend geometrischen Betrachtung. Dabei findet sich ein anderer
1) Ganz allgemein hat bei jedem spitzwinkligen Dreieck das Dreieck der Höhenfußpunkte die Höhen des ursprünglichen Dreiecks zu inneren Winkelhalbierenden.
Das ist eine einfache Folge des Peripheriewinkelsatzes für die Kreise, deren Durchmesser die Seiten des ursprünglichen Dreiecks sind.
2) Polytechnische Mitteilungen von Volz und Karmarsch, Tübingen 1844,
Bd. I, S. 125-136. Ein später erschienenes Buch Weisbachs ist schwer erhältlich
und wenig bekannt.