Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 10-11. XXV. Abschnitt. Axonometrie. 299
ist als die Summe der beiden anderen. Der Zusammenhang zwischen
2,, v und 1, n, n ist folgender:
= /2. --- +2 m, v, ^+m =/-2 -+
/12 + m2+ n2 y1I2 + n2 + n2 /12 + m' + n2
Die Verkürzungsverhältnisse 2, ~i, v und die ihnen zugehörigen
Winkel a, ß, y lassen sich bei gegebenen Strecken 1, m, n in folgender
Art konstruieren. Aus zwei aneinandergehängten rechtwinkligen Dreiecken
ergibt sich eine Strecke, deren Quadrat 12 + in2 + n2 ist; ein gleichschenklig
rechtwinkliges Dreieck mit dieser Strecke als Hypotenuse hat zur Kathete
die Länge /- (12 + mn2 + n2), hieraus kommt man zu den Werten 2,,, v
und zu den Winkeln cc, ß, y mittels rechtwinkliger Dreiecke. Bei gegebenen Zahlen 1, m, n werden die Z, t, v und geeignete goniometrischen
Funktionen von ca, ß, y berechnet. Zur Bestimmung der Achsenbilder dient
aber nicht das Verfahren von ~ 9, sondern die beiden nächsten Paragraphen
enthalten praktisch bessere und theoretisch wichtige Hilfsmittel.
~ 11. Die Herstellung der Achsenbilder durch Rechnung. Die Strecken
OA, OB und OC sind OO:sinca, OO:sin/ und OO:siny. Aus ihnen
folgen als Hypotenusen rechtwinkliger Dreiecke die Seitenlängen des
Spurendreiecks ABC in der Bildebene. Die gesuchten stumpfen Winkel
zwischen den Achsenbildern sind die Supplemente der Dreieckswinkel,
weil die Achsenbilder auf die unbegrenzten Höhen fallen. Auf diesem
Weg wird jedoch die Berechnung der Winkel zwischen den Achsenbildern
umständlich. Ganz einfach ist dagegen die Verwendung einer Formel der
sphärischen Trigonometrie:
OB, OC und 00 bilden ein Dreikant, dieses hat eine rechtwinklige
Seite, die anderen Seiten sind 900 - ß, 900 - y. Der rechtwinkligen Seite
gegenüber liegt der Winkel d, welcher in TT durch die Geraden OB und 0 C,
durch die Bilder der y- und z-Achse eingeschlossen wird. Der allgemeine
Kosinussatz liefert
cos 90 = sin ß sin y + cos ß ~ cos y cos
oder
cos = - tg 3 tgy.
Entsprechende Werte folgen für die Winkel r und, welche zwischen den
Bildern der x-Achse und z-Achse oder der x-Achse und y-Achse auftreten.
Nach den Formeln von ~ 10 hat man für tga = sing: cos a + }/1- 22:
den Wert 1/- - m- + f- usw. Daraus folgt
V( _ m2- + 2) (2 + M2 - 22)
cos = 2+n +m
1/- 1+ m2- +) (12 + m2 - n2)
cos --- 2?