Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

298 Zweiter Teil. Schiefe Parallelperspektive und Axonometrie. ~~ 8-10.
erteilen, daß die Einheitsstrecke der y-Achse genau die Länge / zur Projektion hat. Damit ist das Achsenkreuz festgelegt. Zwei Achsen haben
bei der Projektion die vorgeschriebenen Verkürzungsverhältnisse, für die
dritte Achse muß ebenfalls das richtige Verkürzungsverhältnis vorhanden
sein, weil die Verkürzungsverhältnisse dreier zueinander rechtwinkliger
Strecken die Quadratsumme 2 haben und weil die gegebenen 1, y, v auch
an diese Bedingung gebunden sind.
So ist es immer möglich, dem rechtwinkligen Achsenkreuz eine Stellung zur Bildebene zu geben, wofür die drei Verkürzungsverhältnisse gegebene echte Brüche mit der Quadratsumme 2 sind.
~ 9. Konstruktion der Achsenbilder für gegebene Verkürzungsverhältnisse. 0, das Bild von 0, ist gegeben, ebenso der senkrechte Abstand
des 0 von TT, außerdem die echten Brüche l =cos a, y- = cos ß, v = cos y
mit der Bedingung 22 + L2 + V2 = 2. Man nimmt die Gerade, auf welche
das Bild der z-Achse fallen soll, senkrecht an. A, B, C sollen die Punkte
sein, in denen die Achsen TT durchkreuzen. Dann hat man 0 A = 00. ctg,
OB =00 ctg, OC = 00 ctg y. Hiermit kennt man C auf der Vertikalen durch 0 und man kennt für A und B je einen geometrischen Ort,
einen Kreis um O. Ferner ist die Gerade AB der Schnitt von TT mit
einer auf OC senkrechten Ebene, d. h. sie ist senkrecht zu 0 C, oder horizontal, und sie hat von 0 den aus dem Neigungswinkel der Ebene folgenden Abstand 00 tg y. So hat man für A und B je zwei geometrische Orte, und die Punkte folgen daraus. Daß man auf reelle Schnittpunkte der geometrischen Orte kommt, läßt sich jedenfalls unmittelbar
aus den bestehenden Bedingungen ableiten, man hat aber eine solche Begründung nicht nötig, weil in ~ 8 bewiesen ist, daß die gestellte Aufgabe
immer eine Lösung besitzt. Hiermit ist der Gedankengang für die Konstruktion gekennzeichnet, bei der wirklichen Ausführung kann man im
Anschluß an die Fig. 145 von der senkrechten Geraden durch 0 und von
der umgelegten Strecke 00~ ausgehen, das umgelegte rechtwinklige
Dreieck CO~F herstellen und daraus den geradlinigen Ort für A und B
finden; die Kreisbogen, auf denen A und B liegen, ergeben sich aus
rechtwinkligen Dreiecken. Als Probe kann dienen, daß die Umlegung
des Dreiecks AOB rechtwinklig ausfallen muß.
Wegen anderer Konstruktionen ist zu vergleichen: Wiener I,
S. 433-435.
~ 10. Die Verwendung von Größen, welche zu den Verkürzungsverhältnissen proportional sind. Häufig gibt man nicht die drei Verkürzungsverhältnisse 2, y/, v selbst, sondern man gibt an ihrer Stelle drei
Zahlen 1, n, n, welche dasselbe Verhältnis wie, /,, v besitzen und welche
wie diese an die Bedingung geknüpft sind, daß jedes Quadrat kleiner