Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

296 Zweiter Teil. Schiefe Parallelperspektive und Axonometrie. ~~ 4-6.
das Bild der Achse senkrecht auf der Bildspur der betreffenden Koordinatenebene. Deshalb sind die Achsenbilder nichts anderes als die unbegrenzten Höhen im Spurendreieck der Koordinatenebenen. Dieses Spurendreieck ist immer spitzwinklig; das Bild von 0 fällt ins Innere. Daß die
Achsenbilder miteinander stumpfe Winkel bilden, ist damit aufs neue gezeigt (vgl. ~ 2).
~ 5. Beweis, daß jedes spitzwinklige Dreieck als Spurendreieck
auftreten kann. ABC sei das Dreieck. (Fig. 144. Taf.XIl). 0 muß im
Raume so liegen, daß OA, OB, OC miteinander rechte Winkel bilden, d. h.
0 liegt auf drei Kugelflächen, welche AB, BC, AC zu Durchmessern besitzen. Die ersten beiden Kugeln schneiden sich in einem Kreis k, der senkrecht auf der Ebene TT des Dreiecks ABC steht und von dieser halbiert
wird. Der eine Punkt, den er mit TT gemein hat, ist B, der andere Punkt ist
der Fußpunkt E der von B ausgehenden Dreieckshöhe, denn er ist
Schnittpunkt der beiden in der Bildebene liegenden größten Kreise der
Kugeln mit den Durchmessern AB und BC. BE ist ein Durchmesser
von k. Der erhaltene Kreis k hat mit der Kugel vom Durchmesser AC
zwei reelle Punkte gemein, denn B liegt außerhalb, E innerhalb dieser
Kugel. Demnach gibt es wirklich zwei Punkte, welche die für 0 geforderten Bedingungen erfüllen. Beide Punkte liegen symmetrisch zur
Ebene TT. Die gemeinsamen Punkte der drei Kugeln liegen auf dem zur
Bildebene senkrechten Kreis vom Durchmesser BE, ebenso aber auf zwei
anderen solchen Kreisen mit den Durchmessern A D und CF. Darum
liegt der gesuchte Punkt 0 auf dem Lot, welches auf TT im Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC errichtet ist.
Ist demnach ein spitzwinkliges Dreieck irgendwie als Spurendreieck der Koordinatenebenen gegeben und soll der Mittelpunkt 0 des
Achsenkreuzes hinter der Bildebene liegen, dann gibt es eine eindeutige
Lösung.
~ 6. Konstruktion der Verkürzungsverhältnisse aus gegebenem Spurendreieck. ABC ist das Spurendreieck der Koordinatenebenen, der Höhenschnittpunkt 0 ist das Bild des Mittelpunktes 0. (Fig. 145 auf Tafel XI.)
Dann ist AO B die Orthogonalprojektion eines rechtwinkligen Dreiecks,
und man findet dessen Umlegung A 00B in die Bildebene sofort. A.O A 0
und BO: BOo sind die Verkürzungsverhältnisse für die x- und y-Achse.
Um das dritte Verkürzungsverhältnis zu finden, könnte man die wahre
Gestalt des Dreiecks AOC suchen. Statt dessen braucht man auch nur
das Dreieck COF umzulegen. Es ist bei 0 rechtwinklig, weil OF in
der zu CO senkrechten Ebene liegt. Seine Umlegung durch Drehen um
CF in die Bildebene folgt daraus. Die Strecken F,0 und FO sind
gleich, was als Probe dienen kann.