Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

294 Zweiter Teil. Schiefe Parallelperspektive und Axonometrie. ~~1-2.
XXV. Abschnitt.
Axonometrie.
~ 1. Rechtwinklige Koordinaten im Raum. Koordinatenzüge. Durch
einen Punkt 0 werden drei zueinander senkrechte Achsen gelegt. Die
z-Achse stehe vertikal, die x-Achse verlaufe nach vorn, die y-Achse nach
rechts. (Fig. 143 auf Tafel XI, Skizze in Parallelperspektive.) Je zwei
Achsen bestimmen eine Koordinatenebene. Da man gelegentlich orthogonale Projektionen auf diese Koordinatenebenen benutzt, sollen die Ebenen
mit TT1, 1TT, TT3 in derselben Weise wie im I. Abschnitt ~~ 15, 16 bezeichnet werden.
Betrachtet man einen Punkt P im Raum und legt durch ihn
Ebenen parallel zu den Koordinatenebenen, so bilden diese mit den
Koordinatenebenen zusammen ein Parallelepiped, als dessen Kanten die
absoluten Werte der Koordinaten von P auftreten. Aus gegebenen Koordinaten erhält man die auf den Koordinatenachsen liegenden Kanten
des Parallelepideds und damit dieses Parallelepiped selbst. Die Kanten
OP, PxP' und P'P geben durch ihre Länge und ihre Richtung die
Koordinaten von P. Der aus den drei genannten Strecken gebildete
Linienzug OPxP'P heißt ein Koordinatenzug für den Punkt P, er ersetzt in vieler Hinsicht das ganze vorhin betrachtete Parallelepiped, denn
man kann es leicht aus ihm erhalten. Übrigens kann man auch P durch
andere Koordinatenzüge darstellen (etwa durch OPyP'P oder OPP"'P),
indem man auf andere Art drei verschieden gerichtete und sich aneinanderschließende Kanten des Parallelepipeds auswählt.
~ 2. Der Grundgedanke zur Herstellung der axonometrischen Orthogonalprojektion eines Punktes. Das Achsenkreuz und das Parallelepiped
des Punktes P werden jetzt senkrecht projiziert auf eine Ebene TT, welche
alle drei Achsen schneidet und jedesmal die positive Halbachse schneiden
möge.l) Die Koordinatenebenen sind zu TT sämtlich geneigt. Deshalb fallen
niemals zwei Achsenbilder auf eine Gerade. Ferner schließen die Bilder
zweier Achsen keinen rechten Winkel ein, sondern jeder solche Winkel
ist stumpf, vgl. II. Abschn. ~ 27. Die z-Achse wird immer vertikal dargestellt.
Die Winkel der x-, y-, z-Achse gegen TT sind a, W, y. Wird auf
der x-Achse eine Strecke angenommen, so ist deren Orthogonalprojektion
auf TT im Verhältnis cos a gegenüber der ursprünglichen Länge verkürzt.
Entsprechend ist es für Strecken auf den anderen Achsen. Die Größen
l =-, c os, -os ß, v = cos y heißen die Verkürzungsverhältnisse
für die x-, y-, z-Achse.
1) Man hält am besten an der Annahme senkrechter z-Achse fest und nimmt
nicht etwa die Bildebene senkrecht an.