Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

288 Zweiter Teil. Schiefe Parallelperspektive und Axonometrie. ~~ 8-9.
Man betrachtet die Ebene E, welche durch den Projektionsstrahl von
P senkrecht zu TT1 geht. Ihre Bildspur geht durch P und ist von links
unten nach rechts oben unter 30~ gegen die Horizontale geneigt. (Die
Ebene ist parallel zu der in ~ 6 viel benutzten Hilfsebene E.).E schneidet
die Kugelfläche in einem Kleinkreis, dessen Durchmesser in der Figur
vorhanden ist und dessen Umlegung man daraus erhält. Ebenso legt man
den in E liegenden Projektionsstrahl von P um, seine Umlegung ist
parallel zu A~A, vgl. ~ 6. Hiermit findet man die Umlegung P~ von
P, daraus P" und den Abstand PP" = PoP".
~ 9. Der größte Kugelkreis durch zwei im Bild gegebene Punkte.
Gegeben sind das Kugelbild in Parallelperspektive und die Bilder zweier
Punkte P und Q der Kugelfläche. Gesucht ist das Bild des größten
Kreises k, welcher durch P und Q geht. Damit die Punkte eindeutig
bestimmt sind, muß wieder bekannt sein, auf welcher der beiden durch
den Umriß für die Projektionsrichtung geschiedenen Hälften der Kugelfläche jeder Punkt liegt.
Zuerst bestimmt man nach vorigem Paragraphen P", Q" und die senkrechten Abstände der Punkte P und Q von r2T. P" Q" und das Bild von
PQ schneiden sich im Aufrißspurpunkt von PQ.') Durch diesen Punkt
und durch M geht die Bildspur s der Ebene des gesuchten größten Kreises.
s schneidet den in der Bildebene liegenden Kugelkreis, welcher schon zur
Konstruktion verwendet wurde, in zwei Punkten U und V. Diese sind
die Endpunkte des in rTT liegenden Durchmessers von k. Legt man k
um diesen Durchmesser in TT2 um, dann ist die Umlegung identisch mit
dem um M beschriebenen Kreis vom Radius r. Man findet auch leicht
die Stellen P00 und Qo, an welche P und Q bei dieser Umlegung gelangen, sie liegen auf den durch P" und Q" gelegten Senkrechten zu s.
Das Bild des größten Kreises durch P, Q ist perspektivisch affin zu seiner
Umlegung. s ist die Affinitätsachse und die Affinitätsrichtung ist durch
P P0 oder Q Q0 bestimmt. Natürlich berührt die Ellipse wieder den
Kugelumriß im Bilde in zwei diametral gegenüberliegenden Punkten.
Damit ist die Aufgabe elementar gelöst. Eine höhere Lösung mit
Hilfsmitteln der synthetischen Geometrie bespricht Sturm in seiner Darstellenden Geometrie, 2. Aufl. S. 142-143. Dieses höhere Verfahren hat
übrigens nur theoretisches Interesse. Auch das hier gegebene elementare
Verfahren ist noch zu umständlich, als daß man es zur Konstruktion parallelperspektivischer Bilder von sphärischen Dreiecken gern benutzen möchte.
Uberhaupt wird man im allgemeinen davon absehen, sphärische Dreiecke
parallelperspektivisch zu zeichnen, weil dabei, wie beim Kugelbild, die
Verzerrung zu groß ist und weil es ziemlich mühsam ist.
1) P~Q~ geht nicht durch diesen Punkt, weil P~ und Q~ durch Umlegung
zweier verschiedenen Ebenen entstehen.