Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

286 Zweiter Teil. Schiefe Parallelperspektive und Axonometrie. ~~ 5-6.
Will man den Kegelmantel und die Schnittkurve abwickeln, dann
muß man eine Anzahl regelmäßig verteilter Mantelgeraden nehmen, darunter die beiden in der Symmetrieebene E liegenden. Die Konstruktion
geht demnach wieder vom umgelegten Basiskreis aus; im wesentlichen
verfährt man wie in ~ 1 und ~ 4, dazu ist der XI. Abschn. ~ 16 zu vergleichen.
Legt man die vier Scheitel der Schnittellipse durch Drehung um e2
in die Zeichnungsfläche um, so hat man die vier Scheitel für die wahre
Gestalt der Schnittkurve.
~ 6. Die parallelperspektivische Darstellung der Kugel hat i. w.
mathematisches Interesse. Das Bild sieht nicht gut aus, sieht zu verzerrt aus; man wird es zu praktischen Zwecken wenig verwenden, sondern
für Skizzen lieber eine andere Projektionsart wählen, eine Orthogonalprojektion, etwa eine axonometrische.1)
Der Kugelmittelpunkt M liege in 1TT1 und die Kugel habe den Radius r
(Fig. 139 auf Taf. XI). A sei der am weitesten von 1TT entfernte Punkt
auf der vorderen Kugelhälfte, man zeichnet sein Bild A. AA gibt die
Projektionsrichtung, den Winkel dieser Richtung gegen TT2 erhält man
durch Umlegung des Dreiecks AMA um seine in 1TT liegende Kathete;
diese Umlegung ist A~MA, der umgelegte Winkel ist A~AM.
Weiter betrachtet man den Berührungszylinder der Kugel, dessen
Achse die Projektionsrichtung hat. Der Berührungskreis ist der Umriß
für die Projektionsrichtung, der elliptische Schnitt des Zylinders mit der
Bildebene ist der Umriß für das Bild der Kugel. Die Ellipse hat M zum
Mittelpunkt und ihre große Achse fällt auf die Gerade durch M und A.
Denn die Ebene Z, welche durch die Zylinderachse senkrecht zu TT1 geht,
ist Symmetrieebene für den Zylinder und 1TT2 deshalb ist ihre Bildspur
Symnetrieachse für die Schnittkurve, und man sieht leicht, daß die große
Ellipsenachse auf diese Gerade fällt. Die kleine Ellipsenachse geht durch
M senkrecht zu MA, ihre Länge ist gleich dem Durchmesser des Zylinders
oder der Kugel. Die Scheitel der großen Ellipsenachse sind noch zu
suchen. Dazu gibt es zwei Wege:
Das kürzeste Verfahren beruht darauf, daß die große Halbachse der
Ellipse gleich r: sin v ist, wo v der Winkel der Zylinderachse gegen TT1
ist. Dieser Winkel wurde schon bestimmt, er ist <) A~AM. Deshalb
ist A~A die Länge der großen Halbachse der Ellipse. - Beiläufig sieht
man, daß A der eine Ellipsenbrennpunkt ist, denn A~ ist Scheitel der
kleinen Achse. Die beiden Brennpunkte sind demnach die Bilder der
zwei Punkte, in welchen die Kugel von den beiden zur Bildebene parallelen
1) Die Fig. 81 auf Taf. IV, welche sich auf den Satz von Catalan bezieht, ist
in gewöhnlicher Orthogonalprojektion entworfen. Der Kugelkreis durch A, Q1 u. B
ist in die Aufrißebene gelegt, und die ganze Figur besteht nur aus dem Aufriß.