Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 4-6. XXIII. Abschnitt. Aufgaben über Punkte, Geraden und Ebenen usw. 275
ebenso liegt P" auf g" und auf der durch das Bild von P unter 300
gegen die Horizontale laufenden Geraden.
~ 5. Die Verbindungslinie zweier Punkte und ihre wahre Länge.
(Fig. 131 auf Tafel X). Gegeben sind zwei Punkte P und Q durch die
Bilder von P, P' und Q, Q'. Dann folgen P" und Q", und man erhält von der durch P und Q gehenden Geraden g die Bilder von g und
g', außerdem g". Die Spurpunkte von g folgen leicht aus ~ 3. Damit
erhält man Proben, G2 ist wichtig für das folgende.
Soll nun die wahre Länge von PQ bestimmt werden, so ist nach
den Grundgedanken vom I. Abschn. ~ 8 zu verfahren; aber da man die
wahre Länge von P"Q" in der Zeichnung unmittelbar hat, und die von
P'' nicht, so muß man an P" Q" anknüpfen. Man legt das schon im
I. Abschn. ~ 8 betrachtete Trapez PP"Q"Q in die Zeichnungsfläche um
durch Drehung um P"Q". Seine Seiten P P" und QQ" sind doppelt
so lang, als sie im Bild erscheinen und sie stehen senkrecht zu P"Q",
damit erhält man die Umnlegungen dieser Seiten und daraus die Umlegung
des ganzen Trapezes, PoP" Q"Q0. Dabei geht P~ Q durch den Spurpunkt G.2 weil im Raum PQ durch diesen Punkt geht und der Punkt
bei der Drehung fest bleibt. Po QO ist die gesuchte wahre Länge von PQ.
Im Bilde sind P"Po und Q" Qo zueinander parallel und stehen in
demselben Verhältnis wie die Bilder von PP" und QQ" (sie sind nämlich doppelt so groß). Darum sind die Bilder von P~P"P und Q0Q"Q
ähnliche Dreiecke und zwar mit parallelen entsprechenden Seiten. Daraus
folgt P~P o QOQ. Das hätte man auch daraus schließen können, das die
Strecke PQ der Zeichnung die parallelperspektivische Projektion der Strecke
PQ im Raum ist und daß P~QO die Umlegung der im Raum liegenden
Strecke PQ ist; nach dem IV. Abschn. ~ 3 besteht deshalb in der Zeichnungsfläche perspektivische Affinität zwischen P Q und P~ QO mit der
Affinitätsachse P" Q".
In der Figur ist der Neigungswinkel 2y von P Q oder g gegen
die Bildebene TT1 gefunden. Der Neigungswinkel y, gegen TU~ ist weniger
einfach zu finden; man muß dazu erst die wahre Länge von P'Q' durch
Umlegen der Grundrißebene in die Zeichnungsfläche bestimmen und dann
das im Raume liegende Trapez PP' Q' Q in seiner wahren Gestalt zeichnen,
vgl. den I. Abschn. ~ 8. - Daß man für die Längenbestimmung von PQ
und für die Bestimmung der Neigungswinkel y, und y, auch rechtwinklige
Dreiecke statt der Trapeze verwenden kann, ist dort in ~ 9 hinreichend
besprochen.
~ 6. Darstellung einer Ebene. Die Lage einer Ebene E, die nicht
durch die Projektionsachse geht, ist durch ihre beiden Spuren e1, e2 vollständig bestimmt (II. Abschn. ~ 1). Man stellt darum in Parallelperspektive
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