Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

264 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 17-18.
liehen der beiden Breitenkreise. Doch wird dieser Punkt mehr zur Probe
verwendet'), die genaue Hyperbelkonstruktion erfolgt aus den Scheiteln
und Asymptoten. Man hat durch M eine Hilfsebene parallel zur Bildebene E zu legen, diese Ebene schneidet den projizierenden Kegel der
beiden Parallelkreise in zwei Geraden, zu denen die Asymptoten der in
E liegenden Hyperbel parallel sind. Daraus kommt man zu folgender
Konstruktion, die in einer Nebenfigur gemacht ist:
Die Parallele zu e2 durch M" ist' die Aufrißspur der eingeführten
Hilfsebene, sie enthält zugleich die Aufrisse aller Punkte dieser Hilfsebene.
So hat man die Aufrisse und daraus die Grundrisse der beiden Punkte,
welche der nördliche Parallelkreis von 150 mit der Hilfsebene gemein hat.
Der vordere dieser zwei Punkte bestimmt die eine Mantelgerade des projizierenden Kegels. Diese Mantelgerade denkt man sich starr verbunden
mit der Geraden, in welcher die Hilfsebene und E sich schneiden; ferner
werde sie um diese Gerade gedreht bis zum Parallelismus mit TT2. Der
Aufriß dieser Lage wird gezeichnet, siehe die Figur.2) Damit ist nun die
Hälfte des Winkels bekannt, welchen die beiden ausgezeichneten Mantelgeraden des projizierenden Kegels miteinander bilden, und diese Hälfte ist
der Winkel, unter welchem die Asymptoten der gesuchten Hyperbel die
Hauptachse der Hyperbel schneiden. Hiermit ist die Konstruktion der
Hyperbelasymptoten erledigt. (Die eine Asymptote ist parallel zur Hypotenuse des umgelegten Dreiecks.) Wegen Konstruktion der Hyperbel aus den
Scheiteln und den Asymptoten sei auf den XII. Abschn. ~ 15 und auf
Bücher über Kegelschnitte verwiesen.
~ 18. Zusätze. Bei der ausführlichen Behandlung der allgemeinen
stereographischen Projektion in ~ 6 war die Kugel anders zu den Projektionsebenen gestellt. TT1 diente als Bildebene, und man konnte auf die
Grundrißprojektion der Kugel und ihres Gradnetzes verzichten. Für die
allgemeine gnomonische Projektion eignet sich diese Stellung weniger. -
In den Figuren 125 bis 127 sind nur wesentliche Teile der Konstruktion
eingetragen und nicht die in der Bildebene entstehenden Gradnetze. Die
volle Ausführung der Zeichnungen in großem Maßstab bietet eine gute
Übung und ist teils nicht leicht.
1) Übrigens wird seine Konstruktion ungenau, aber duich Rechnung findet man
ihn gut.
2) Die Hypotenuse des umgelegten rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem
Kugelradius. Deshalb hat man nicht nötig, die eine Kathete des. Dreiecks aus
dem Grundriß zu entnehmen, und man kann schließlich die Grundrißfigur ganz
entbehren.