Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 13-15. XXI. Abschnitt. Die wichtigsten zentralperspekt. Kartenprojektionen. 261
gentialebene der Kugel läßt sich für verschiedene Lagen des Abbildungszentrums C machen. Dabei wird man C auf der Geraden wählen, welche
zur Bildebene senkrecht durch den Kugelmittelpunkt geht. C kann dann
innerhalb der Kugelfläche, auf ihr oder außerhalb liegen. Praktische Bedeutung haben nur die Fälle, wo C im Mittelpunkt liegt oder von der
Bildebene aus gerechnet über den Kugelmittelpunkt hinaus liegt. Dem
Grenzfall für unendlich fernes C entspricht die senkrechte Parallelprojektion auf die Tangentialebene, die orthographische Projektion.
Bei jeder zentralperspektivischen Projektion oder beim eben genannten
Grenzfall sind die Bilder von Kugelkreisen Kurven zweiter Ordnung, als
ebene Schnitte von Kegeln zweiter Ordnung.
Näher besprochen werden soll hier nur die perspektivische Projektion
vom Kugelzentrum aus. Sie heißt gnomonische Projektion (~~ 14-17).
Eine wesentliche Eigenschaft von ihr ist die, daß jeder größte Kreis der
Kugel ein geradliniges Bild hat, was leicht zu sehen ist und was für
manche astronomische Karten Vorteile bietet. Abbilden kann man wieder
die ganze Kugelfläche, aber ihr Bild bedeckt die Ebene doppelt, indem je
zwei diametral gegenüberliegende Punkte dasselbe Bild haben. Deshalb
bildet man meist nur eine Halbkugel ab.
~ 14. Die gnomonische Polarprojektion. Die Kugel wird in derselben
Stellung genommen wie in ~ 3 und in Fig. 124 auf Tafel IX. Damit erfolgt die perspektivische Abbildung vom Kugelmittelpunkt auf die Tangentialebene des Südpols. Man kann sich auf die Abbildung der Südhalbkugel beschränken in Rücksicht auf den Schluß des vorigen Paragraphen.
Die Meridiane erhalten geradlinige Bilder. Das sind die Grundrißspuren ihrer Ebenen. So bleiben, obwohl im allgemeinen keine Winkeltreue besteht, die Winkel erhalten, welche die Meridiane miteinander beim
Südpol bilden. Irgend ein bestimmter Parallelkreis der Südhalbkugel hat
als projizierenden Kegel einen Rotationskegel mit vertikaler Achse. Hieraus folgt das Bild des Parallelkreises als Kreis um den Südpol. Der
Kreisradius wird ähnlich wie in ~ 3 gefunden. Zum Parallelkreis mit der
südlichen Breite gp gehört jetzt ein Bildkreis vom Radius ctg qp (beim
Kugelradius 1).
~ 15. Die gnomonische Äquatorialprojektion. Man geht von derselben
Stellung der Kugel zu den Ebenen lT1 und TT2 aus wie in ~ 4.1) Als Bildebene dient eine zu 1TT und TT2 senkrechte Tangentialebene E, die in 1TT
umgelegt wird. Auf der Kugel betrachtet man Meridiane und Parallelkreise, wieder in Abständen von 150 zu 15~, ein Meridiankreis liege in
der zu TT2 parallelen Ebene E. Die Meridianbilder sind vertikale Geraden
in E, man erhält sie in der Umlegung von E leicht aus den Schnittpunkten
1) Es empfiehlt sich, die Figur selbst zu entwerfen.