Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

256 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~ 9.
verhältnis. Es ist gemeinsam für alle Linienelemente, welche von einem
und demselben Punkte auf der Kugel ausgehen. Das hängt aufs engste
mit der Winkeltreue (Konformit;it) zusammen und wird hier als bekannt
vorausgesetzt. Zu verschiedenen Punkten der Kugel gehören im allgemeinen
verschiedene Vergrößerungsverhältnisse, die sich stetig mit der Lage der
Punkte ändern. Aber alle Punkte der Kugel mit gleichem Abstand von
der Berührungsstelle haben dasselbe Vergrößerungsverhältnis, und das Vergrößerungsverhältnis wächst von 1 bis oo, wenn ein Punkt auf der Kugel
von dieser Berührungsstelle bis C geht.
Wenn ein Punkt P von der Berührungsstelle um einen Bogen vom
Zentriwinkel a absteht, so findet man den Wert des Vergrößerungsverhältnisses für die Stelle P am einfachsten auf folgende Art: P liegt auf
einem zur Bildebene parallelen Kugelkreis, ein Linienelement bei P und
das zugehörige Linienelement bei P verhalten sich wie der Radius dieses
Kreises zum Radius seines Bildkreises. Das Verhältnis ist der reziproke
Wert des Vergrößerungsverhältnisses für die Stelle P. So findet man
dieses Vergrößerungsverhältnis gleich 2. tg -: sin a oder gleich
Cos2 —
Für unendlich kleine Flächenelemente ist das Vergrößerungsverhältnis das Quadrat vom Vergrößerungsverhältnis der Linienelemente.
~ 9. Über Sternkarten in stereographischer Projektion. Die stereographische Projektion eignet sich für Sternkarten gut und ist z. B. in
Stielers Schulatlas und im "großen Stieler~ verwendet. Man ist keineswegs
etwa auf die Abbildung des nördlichen Sternhimmels beschränkt, sondern
kann die Teile vom südlichen Sternhimmel mit hinzunehmen, welche
bei uns überhaupt sichtbar werden. Freilich erhält man dann in den
äußeren Teilen der Sternkarte starke Dehnungen, denn schon für Punkte
des Himmelsäquators wird das Vergrößerungsverhältnis der Längenelemente
zu 2, das der Flächenelemente zu 4, und für südliche Breiten wachsen
diese Werte noch.
Bei gegebener Sternzeit kennt man den Himmelsmeridian, dessen
sämtliche Sterne gerade kulminieren. Für die geographische Breite (p
kulminieren über dem südlichen Horizont noch die Sterne bis zur südlichen Deklination 900 - (p, über dem nördlichen Horizont kulminieren
die Sterne, deren nördliche Deklination über 90~ - p beträgt.') Damit ist auf dem genannten Meridian der Sternkarte eine Strecke bestimmt,
deren zugehöriger Bogen auf der Himmelskugel zurzeit völlig über unserem Horizont ist. Die dann sichtbare Hälfte der Himmelskugel hat als
Bild in der Sternkarte eine Kreisfläche, welche die genannte Strecke zum
Durchmesser hat. Ändert sich die Zeit, dann verschiebt sich diese Kreis1) Siehe ~ 5 im astronomischen Anhang.