Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 6-8. XXI. Abschnitt. Die wichtigsten zentralperspekt. Kartenprojektionen. 255
kreises. Die Bildkreise der anderen oben eingeführten Meridiankreise gehen
durch die Bildpunkte der Pole hindurch und haben dort wegen der konformen Abbildung bekannte Tangentenrichtungen, vgl. ~ 4. Dadurch kommt
man planimetrisch ganz einfach zu ihren Mittelpunkten.
Zur Durchführung der Konstruktion des Gradnetzes in TT1 empfiehlt
es sich, den Kugelradius und die geographische Breite des Berührungspunktes der Bildebene in Rücksicht auf die in ~ 10 besprochene Anwendung zu wählen.
Zusatz. Man könnte auch statt der in Fig. 126 benutzten Stellung die
Kugel und ihr Gradnetz in die Lage von Fig. 125 bringen und die Bildebene E als eine zu TT2 senkrechte Tangentialebene der Kugel nehmen.
Dann würde die Umlegung der Bildfigur in TT1 gezeichnet. Für diese Anordnung spricht zunächst der Gedanke, daß man von den Parallelkreisen
und Meridianen die Grundrisse leicht hat und daß man sie ähnlich wie
in ~ 4 für die genauere Konstruktion verwenden könne. Nähere Überlegung zeigt jedoch, daß die zuerst besprochene Konstruktionsart entschieden vorteilhafter ist. Bei Verzicht auf einige Hilfskonstruktionen
kann man im Falle von ~~ 4, 5 ebenfalls die Bildebene mit TT1 zusammenfallen lassen. Dann haben die Parallelkreise geradlinige und senkrechte
Aufrisse, und man geht im wesentlichen vor wie in diesem Paragraphen.
~ 7. Die Konstruktion des stereographischen Bildes eines größten
Kugelkreises aus den Bildern zweier seiner Punkte. In der Bildebene
E der stereographischen Projektion sind die Bilder P und Q zweier Punkte
P und Q der Kugelläche gegeben, außerdem sind die Berührungsstelle
von E und der Kugelradius bekannt. Das Bild des größten Kugelkreises
k, welcher durch P und Q geht, ist ein Kreis k durch P und Q. Um
ihn zeichnen zu können, hat man nur noch einen weiteren Punkt von ihm
nötig. k geht durch die Punkte, welche dem P und Q diametral gegenüberliegen, dem P liege R gegenüber. Dann liegen P, R, die Berührungsstelle von E und das Projektionszentrum C auf einem größten Kreis, dessen
Bild geradlinig ist und durch die Berührungsstelle geht. Ferner ist im
Raum <9C PCR - 900 als Peripheriewinkel in einem Halbkreis. So ist
auch A P CR bei C rechtwinklig. Die von C ausgehende Höhe ist 2r
und hat die Berührungsstelle zum Fußpunkt. Das rechtwinklige Dreieck
läßt sich hieraus umgelegt zeichnen und gibt R. Oft wird man die
Lage von BR lieber berechnen. Die Abstände der Punkte P und R von
der Berührungsstelle haben das Produkt (2r)2. Durch P, Q und R gebt
der gesuchte Kreis k.
~ 8. Das Vergrößerungsverhältnis der stereographischen Projektion.
Ein unendlich kleines Linienelement auf der Kugel hat zum Bild ein
unendlich kleines Linienelement in der Bildebene E. Der Quotient aus
der Bildstrecke und der ursprünglichen Strecke heißt das Vergrößerungs