Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 2-4. XXI. Abschnitt. Die wichtigsten zentralperspekt. Kartenprojektionen. 251
sind zueinander konjugiert. - Übrigens braucht man den 4. Satz von ~ 1
nicht zum Beweis dieser Sätze, sondern man kann so verfahren: Die
Bildkreise der Meridiankreise gehen durch die Bilder der beiden Pole und
sind deshalb ein Kreisbüschel mit zwei festen Punkten. Die Parallelkreise des Gradnetzes auf der Kugel sind Orthogonaltrajektorien des
Systems der Meridiane. Ihre Bildkreise sind wegen der Konformität
Orthogonaltrajektorien des Kreisbüschels der Meridianbilder, d. h. sie sind
das konjugierte Büschel zu diesem Kreisbüschel.
Für die Konstruktion sind mehrere Fälle zu unterscheiden. Der einfachste Fall ist die Projektion auf die Tangentialebene des einen Pols
vom gegenüberliegenden Pol aus (stereographische Polarprojektion). Als
weiterer besonderer Fall ist die stereographische Aquatorialprojektion zu
nennen, bei welcher die Abbildung von einem Punkt des Äquators auf
die Tangentialebene des diametral gegenüberliegenden Punktes erfolgt.
Dann bleibt noch der allgemeine Fall. Diese drei Fälle werden in den
nächsten Paragraphen behandelt.
~ 3. Die stereographische Polarprojektion des Gradnetzes der Erdkugel. (Fig. 124 auf Tafel IX). Die Bildebene, die Tangentialebene des
Südpols, wird als Grundrißebene verwendet. Die Kugel liegt oberhalb TT,.
Man zeichnet nur den Aufriß der Kugel und man wählt ihre Berührungsstelle mit TT1. Die Parallelkreise haben geradlinige Aufrisse, diese sind
hier für die Breiten 0~, 15~, 30~, 45~, 60~, 750 gezeichnet. Weiter betrachtet man Meridiane von 150 zu 15~, einer davon möge zu TT2 parallel
sein. Dann lassen sich die Grundrißspuren der Meridianebenen zeichnen,
und diese Geraden sind zugleich die Meridianbilder. (Nimmt man die
Meridiane als Halbkreise, dann sind die zugehörigen Bilder Halbstrahlen,
die vom Südpol ausgehen). - Jeder Breitenkreis bestimmt einen projizierenden Kegel, dessen Spitze der Nordpol ist und dessen Achse die
Verbindungslinie beider Pole ist. Der Kegel schneidet 1TT in einem Kreis
vom Mittelpunkt S. Die Konstruktion desselben ist aus der Figur zu
sehen. Darum hat ein Parallelkreis mit der Poldistanz a vom Südpol einen
Bildkreis mit dem Radius 2 tg -2 wenn der Kugelradius 1 ist.
~ 4. Die stereographische Äquatorialprojektion. (Fig. 125 auf Taf. IX.)
Die Kugel ist in allgemeiner Stellung zu den Projektionsebenen genommen,
aber mit senkrechter Nord-Süd-Linie. Gezeichnet sind die Umrisse der
Kugelprojektionen und außerdem vorläufig nur die geradlinigen Aufrisse
des Aquators und einer Reihe von Breitenkreisen. Der am weitesten
rechts liegende Punkt des Äquators dient als Abbildungszentrum C, deshalb ist die Bildebene E die linke zu TT, und lTT senkrechte Tangentialebene der Kugel. Man stellt von der in der Bildebene auftretenden Figur
die Umlegung dar, welche der Drehung von E um die Aufrißspur e2 ent