Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

250 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 1-2.
Eine Parallelverschiebung der Bildebene bewirkt nur eine ähnliche
Umformung des Bildes. Das Legen der Bildebene durch den Kugelmittelpunkt ist ziemlich üblich, für darstellend geometrische Behandlung aber
unbequem. Im folgenden wir die Tangentialebene immer als Bildebene
beibehalten.
Die wichtigsten Eigenschaften der stereographischen Projektion sind
folgende:
1. Alle Kreise der Kugel haben als Bildkurven Kreise und in besonderen Fällen gerade Linien. Ein Bildkreis oder eine Bildgerade entsteht, je nachdem der abzubildende Kreis neben C vorbei oder durch C
hindurch geht.
2. Die Abbildung ist konform, ~winkeltreu", d. h. die Bildkreise zweier
Kreise der Kugel schneiden sich unter demselben Winkel wie die ursprünglichen Kreise. Uber die Bedeutung der Konformität für die Werte des
Vergrößerungsverhältnisses vgl. ~ 8.
3. Der Mittelpunkt eines Bildkreises liegt in gerader Linie mit dem
Abbildungszentrum C und der Spitze des Kegels, welcher die Kugel im
abzubildenden Kreis berührt. (Satz von Chasles).
4. Die Schnittkreise eines beliebigen Ebenenbüschels mit der Kugel
haben als System der Bildkurven ein Kreisbüschel. Die Achse des Ebenenbüschels kann die Kugel schneiden oder berühren oder sie kann neben
der Kugel vorbeigehen. Dem entsprechen die drei Arten von Kreisbüscheln.
Im ersten Fall ist der Satz etwas durchaus selbstverständliches.
Hiermit sind nur die später vorkommenden Eigenschaften genannt.
Weitere Sätze enthält die unten angegebene Literatur.
Auf Beweise der ausgesprochenen Sätze soll hier nicht eingegangen
werden. Teilweise lassen sich diese Sätze recht einfach elementar begründen, worüber kartographische Bücher1) und die Darstellende Geometrie
von Rohn-Papperitz zu vergleichen sind. Andererseits gibt es recht einfache analytische Beweise, und für einen Teil der Sätze hat man sehr
anschauliche Begründungen mittels Sätzen aus der Theorie der Flächen
zweiter Ordnung. Funktionentheoretische Bücher und die autographierten
Vorlesungen von F. Klein2) bieten manches hierher Gehörige.
~ 2. Über die Darstellung des Gradnetzes der Erdkugel in stereographischer Projektion. Aus den früheren Sätzen ergibt sich, daß durch
die Abbildung zwei Kreisbüschel entstehen. Das Kreisbüschel der Meridianbilder hat zwei feste Punkte, das andere Kreisbüschel hat keine festen
Punkte, und jeder Kreis des zweiten Büschels schneidet jeden Kreis des
ersten Büschels rechtwinklig. Die beiden Kreisbüschel in der Bildebene
1) Gelcich-Sauter, Kartenkunde, Sammlung Göschen Bd. 30; Gretschel, Lehrbuch
der Kartenprojektion, Weimar 1873, Zöppritz-Bludau, Kartenentwurfslehre, u. a.
2) Geometrische Funktionentheorie, W.-S. 80/81, herausgegeben 1892, S. 44-55.