Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~ 1. XXI. Abschnitt. Die wichtigsten zentralperspekt. Kartenprojektionen. 249
Im Fall, wo keine Schleifen eintreten, hat man Wendepunkte, und
hierauf ist noch einzugehen. An einem Punkt P einer beliebigen Raumkurve gibt es unendlich viele Berührungsebenen, sie gehen durch die
Kurventangente hindurch und die Schmiegungsebene gehört zu ihnen. In
der Nachbarschaft von P bleibt die Kurve auf einer und derselben Seite
einer allgemeinen Tangentialebene, von der Schmiegungsebene dagegen
wird die Kurve in P durchkreuzt, wenigstens solange die Torsion nicht
0 ist. Wendet man dies auf die betrachtete Schraubenlinie an, dann
folgt: ein Wendepunkt im Grundriß beruht auf vertikaler Schmiegungsebene. Alle Schmiegungsebenen der Schraubenlinie bilden mit deren Achse
den konstanten Winkel 900 - co. Man führt jetzt einen Kegel ein, welcher
die Schraubenachse zur Achse hat und dessen Tangentialebenen mit der
Achse den Winkel 900 - co bilden. Zu jeder Tangentialebene des Kegels
gibt es bei jedem Gang der Schraubenlinie eine parallele Schmiegungsebene. Bei fehlenden Schleifen ist die Achse der Schraubenlinie oder
des Kegels flacher gegen TT1 geneigt ist, als um den Winkel co. Deshalb gibt
es zwei vertikale Tangentialebenen des Kegels, zwei vertikale Schmiegungsebenen für jeden Gang der Schraubenlinie oder zwei Wendepunkte für
den Grundriß eines jeden Ganges der Kurve. Man nimmt nun eine der
vertikalen Tangentialebenen des Kegels und sucht in ihr die Gerade,
welche durch die Kegelspitze geht und zur Kegelachse senkrecht steht.
Zur Tangentialebene ist bei jedem Schraubengang eine Schmiegungsebene
parallel. Die Hauptnormale ihres Berührungspunktes ist parallel mit der
eben bestimmten Geraden in der Tangentialebene. Damit erhält man zunächst zwei Möglichkeiten für die Hauptnormale, denn Punkte der Kurve,
die um einen halben Gang voneinander abstehen, haben parallele Hauptnormalen. Aber nur die eine Hauptnormale führt zu einer Schmiegungsebene, welche mit der Tangentialebene parallel ist. - Diese Betrachtung
läßt sich soweit ergänzen, daß man zur Konstruktion der Wendepunkte
und Wendetangenten im Grundriß der Schraubenlinie kommt. Aber die
praktische Durchführung wird doch nicht einfach genug.
XXI. Abschnitt.
Die wichtigsten zentralperspektivischen Kartenprojektionen.
~ 1. Die stereographische Projektion. Bildet man eine Kugelfläche
zentralperspektivisch von einem ihrer Punkte C aus auf die Tangentialebene
des gegenüberliegenden Punktes ab, so entsteht eine stereographische Projektion. Das Bild der ganzen Kugelfläche bedeckt die Bildebene einfach.
Je weiter ein Punkt der Kugelfläche von der Berührungsstelle entfernt
ist, um so entfernter ist auch sein Bild von der Berührungsstelle. Rückt
der Kugelpunkt in C hinein, so rückt der Bildpunkt ins Unendliche.