Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

248 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 9-10.
hieraus wieder die affine Einteilung der Ellipse. Alles weitere ist entsprechend wie oben.
~ 10. Fortsetzung. Über das Auftreten von Spitzen, Doppelpunkten
und Wendepunkten. Für jede Projektion der Schraubenlinie sind drei
Möglichkeiten vorhanden. Die Kurve kann frei von Doppelpunkten und
Spitzen sein, aber Wendepunkte haben, oder sie kann Spitzen haben oder
es kann Schleifenbildung mit Doppelpunkten auftreten. Es genügt, die
Grundrißprojektion zu besprechen.
Soll ein Punkt P der Schraubenlinie im Grundriß eine Spitze liefern,
so muß die Tangente von P senkrecht zu TT, sein.') Das tritt nur ein,
wenn die zum Punkt P gehörige Tangentialebene der Zylinderfläche vertikal ist. Dazu muß P jedenfalls dem ersten Umriß der Fläche angehören.
Der Steigungswinkel der Schraubenlinie war co, unter dem Winkel 900~- o
durchkreuzen sich in einem Punkt der Kurve die Tangente und die Mantelgerade. Hat die Zylinderachse den Neigungswinkel co gegen T11, dann
treten für die eine Reihe der dem ersten Urriß angehörenden Punkte
der Schraubenlinie vertikale Tangenten auf. Im Grundriß hat man demnach Spitzen. Die Spitzentangenten sind nach bekanntem Satz die Grundrißspuren der zu den Kurvenpunkten gehörigen Schmiegungsebenen. Die
Schmiegungsebene geht durch die Tangente und die Hauptnormale desKurvenpunktes; die Hauptnormale ist das Lot vom Kurvenpunkt auf die Schraubenachse. Hier ist das Lot horizontal, sein Grundriß ist die Spitzentangente,
d. h. die Spitzentangente selbst steht senkrecht zum Grundriß der Schraubenachse.
Vom eben behandelten Fall, in welchem der Grundriß der Schraubenlinie Spitzen hat, kann man leicht zu den beiden anderen Fällen übergehen. Die Spitzen fallen weg, sobald man die Achse der Schraubenlinie
steiler oder weniger steil macht. Im ersten Fall bilden sich in der Grundrißprojektion Schleifen, im zweiten Fall hat man eine Linie ohne Schleifen
und mit Wendepunkten. Am anschaulichsten sieht man dies an einem
verschieden steil gehaltenen und senkrecht von oben betrachteten Korkzieher. Schwerer, aber eine gute Probe für die Anschauung ist die folgende Überlegung: Zwei Mantelgeraden des Zylinders gehören dessen erstem
Umriß an, auf jeder dieser Mantelgeraden wählt man einen Punkt der
Schraubenlinie. An diesen Punkten nimmt man Linienelemente der Kurve.
Sie erhalten Richtungen, indem man sich die Kurve in bestimmtem Sinn
durchlaufen denkt. Damit haben auch die Grundrisse dieser Linienelemente
Richtungen. Je nachdem diese beiden Richtungen im Grundriß entgegengesetzt oder gleich sind, hat der Grundriß der Schraubenlinie Schleifen
oder keine Schleifen, usw. - Ferner ist ein Seitenriß gut brauchbar.
1) XV. Abschn. ~~ 24, 25, was auch später wegen der Wendepunkte zu vergleichen ist.