Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

244 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 4-6.
beiden Seiten des Aufrisses der Schraubenachse verläuft. Die beiden
Teile sind kongruent, aber in vertikaler Richtung um eine halbe Ganghöhe gegeneinander verschoben. Läßt man einen Punkt P nur einen
halben Gang der Schraubenlinie, von A aus nach oben durchlaufen, dann
entsteht rechts in der Aufrißebene ein aus dem Unendlichen kommendes
und ins Unendliche gehendes Kurvenstück aus zwei Hälften, die in einer
Spitze zusammenstoßen und dabei zur horizontalen Spitzentangente symmetrisch sind. Die Spitze liegt in einem Scheitel der Sinuslinie, welche
den Aufriß der Schraubenlinie bildet. Die Schnittkurve wird bei der
angegebenen Bewegung des P von oben nach unten durchlaufen. Die
Asymptoten dieses Kurvenstückes sind an sich von Interesse und sind
wichtig für die Zeichnung der Kurve. Die Tangente der Schraubenlinie
im Punkt A liefert den unendlich fernen Punkt der oberen Kurvenhälfte,
man sieht daraus leicht, daß die zugehörige Asymptote den Winkel co
gegen die Horizontale hat. Betrachtet man weiter die Fortsetzung der
Schraubenlinie nach unten fiber A hinaus und das zugeordnete Kurvenstück in lTT, so hat es dieselbe Asymptote. Damit kennt man in Tf'
nicht bloß die Richtung der Asymptote, sondern man weiß auch, daß die
gemeinsame Asymptote der beiden genannten Kurvenstücke durch A" hindurchgeht. Damit ist alles Wesentliche über die Konstruktion der Kurve gesagt. (Die analytische Begründung der ausgesprochenen Sätze ist leicht,
führt aber hier zu weit. Man hat die Kurve mittels des in ~ 1 eingeführten Parameters qp darzustellen.)
~ 5. Die Abwicklung der Tangentenfläche der Schraubenlinie. Die
Fläche ist abwickelbar, sie läßt sich in die Ebene ausbreiten. Dabei
fallen die beiden Flächenhälften aufeinander und die Rückkehrkante wird
kreisförmig; der Kreisradius ist gleich dem Krümmungsradius Q der
Schraubenlinie. Das sieht man aus dem im XII. Abschn. ~ 2 angeführten
ersten Spezialfall des Catalanschen Satzes. Auch kann man es mittels
der Geometrie des unendlich Kleinen daraus schließen, daß Kontingenzwinkel und Bogenelement der Schraubenlinie sich bei der Abwicklung
nicht ändern (der Kontingenzwinkel ändert sich deshalb nicht, weil das
von zwei aufeinander folgenden Tangenten gebildete Flächenelement schon
eben ist).
Die Länge eines vollen Ganges der Schraubenlinie ist ---- und desCOS C D
halb erhält man bei der Abwicklung der Tangentenfläche aus diesem Stück
der Schraubenlinie noch keinen vollen Kreis vom Radius Q.
~ 6. Andere Schraubenfliächen. Von andern geradlinigen Schraubenflächen sind hier zu nennen: die Fläche aller Hauptnormalen und die Flächen
aller Geraden, welche, von Punkten der Schraubenlinie ausgehend, deren Achse
unter konstantem Winkel treffen und dabei von der Schraubenlinie gegen