Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

242 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 2-3.
man den Krümmungsradius der Ellipse für P (VIII. Abschn. ~~ 4, 6) und
hat damit den Krümmungsradius der Schraubenlinie:
r
Q COS2 o
Zu demselben Wert kommt man aus dem Eulerschen Satz (die Hauptnormalschnitte der Zylinderfläche für den Punkt P sind sofort bekannt
und haben die Krümmungsradien r und c, ebenso kennt man die Stellung
der Schmiegungsebene der Schraubenlinie zu den Ebenen der Hauptnormalschnitte). Drittens kann man die Parameterdarstellung und die
Formel für den Krümmungsradius anwenden, aber das gehört nicht
hierher.
Jetzt betrachtet man einen Punkt P, auf der Schraubenlinie und zugleich auf dem zweiten Umriß des Zylinders. Ihm entspricht im Aufriß
ein Scheitel der Sinuslinie. Die zu TT2 senkrechten Projektionsstrahlen
aller Punkte der Schraubenlinie bilden eine Zylinderfläche. In dieser Fläche
ist die Schraubenlinie nicht geodätisch, nur bei P, hat sie geodätischen
Charakter, d. h. dort sind die Hauptnormale der Kurve und die Flächennormale identisch. An der Stelle P, hat die neue Zylinderfläche einen
geradlinigen und einen zum Aufriß der Schraubenlinie kongruenten Hauptnormalschnitt. Deren Krümmungsradien sind oo und 1, B ist noch unbekannt. Der Eulersche Satz liefert dann R mittels des bekannten
Krümmungsradius der Schraubenlinie:
1 Cos2 (900- ) sin2 (900 - m)
+,
oder
R= Q sin2 o = r * tg2 o.
Damit ist der Krümmungsradius für einen Scheitel der Sinuslinie im
Aufriß gefunden. Der Wert ist leicht zu konstruieren. Beiläufig ist er
gleich Q - r, d. h. gleich dem Abstand des Krümmungsmittelpunktes der
Schraubenlinie von der Zylinderachse.
~ 3. Die Tangenitenfläche der Schraubenlinie. Diese abwickelbare
geradlinige Fläche zerfällt in zwei kongruente Hälften entsprechend den
beiden durch den Berührungspunkt gebildeten Hälften der fortbewegten
Tangente. Beide Flächenteile stoßen in der Schraubenlinie zusammen,
und diese Linie ist die Rückkehrkante der Fläche. Die Fläche hat
(wegen der Abwickelbarkeit) in allen Punkten einer ihrer Geraden dieselbe
Tangentialebene, und das ist die Schmiegungsebene der Schraubenlinie
für den Berührungspunkt dieser Geraden. In anderer Form lautet dieser
Satz: die Tangentenfläche der Schraubenlinie ist zugleich die Hüllfläche
aller Schmiegungsebenen der Kurve.
Die Tangentenfläche der Schraubenlinie ist das einfachste Beispiel
einer abwickelbaren Fläche, welche kein Kegel oder Zylinder ist, sondern