Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 1-2. XX. Abschnitt. Die Schraubenlinie u. d. wichtigsten Schraubenflächen. 241
Ein Punkt P der Schraubenlinie habe die Tangente t mit dem Grundrißspurpunkt 1. t liegt in der zu P gehörigen Tangentialebene des
Zylinders, d. h. t' ist die Tangente des Basiskreises für den Berührungspunkt P'. Ferner ist PP': P'T1 = tg o. Daraus folgt, daß P'Ti gleich
dem Bogen von A bis P' ist. Dabei ist der Bogen auf dem Basiskreis im
Sinne des Pfeiles zu nehmen, wenn P oberhalb TTl liegt, und für Punkte
auf den höheren Gängen der Schraubenlinie enthält der Bogen ein- oder
mehrfach den Kreisumfang. Falls die Tangente aus P und 2' ungenau
wird, so sind die Angaben von Seite 218 Mitte zu vergleichen. - Durchläuft P die Kurve, dann beschreibt Tl eine Kreisevolvente. Zum oberhalb
TTI liegenden Teil der Schraubenlinie gehört die eine, zum unterhalb TT
liegenden Teil gehört die andere Hälfte der Evolvente, beide Hälften stoßen
in A mit einer Spitze zusammen.
Für jeden Punkt der Schraubenlinie, welcher dem zweiten Umriß des
Zylinders angehört, kommt man zu vertikalem Aufriß der Tangente. Auch
sonst ist klar, daß diesen Kurvenpunkten Berührungsstellen des Kurvenaufrisses und des Umrisses der Zylinderprojektion entsprechen müssen,
vgl. z. B. den XI. Abschn. ~ 2 und XII. Abschn. ~ 10. - Aus dem Zusammenhang des Dreiecks PP'T und seiner Aufrißprojektion erkennt
man weiter, daß t" mit der Projektionsachse einen Winkel bildet, welcher
dem Intervall von co bis 900 angehört. Der kleinste Winkel, o, tritt auf,
wenn die Ebene von PP'T1 zu TT2 parallel ist. Hiermit sind die Wendepunkte der Aufrißprojektion erhalten.
Führt man rechtwinklige Koordinaten so ein, daß die z-Achse auf
die Zylinderachse fällt, während die andern Achsen in TTI liegen und die
in der Figur angegebene Lage haben, so entsteht die folgende Parameterdarstellung der Schraubenlinie:
h
x == r cos (, y = r sin p, z= - - = ~r tg co p.
Daraus folgt y = r sin oder der Kurvenaufriß ist eine Sinuslinie.
Der Aufriß eines Ganges der Schraubenlinie besteht aus vier kongruenten
Stücken. Die Scheitel und Wendepunkte wurden schon besprochen.
~ 2. Der Krümmungsradius der Schraubenlinie und der Krümmungsradius für einen Scheitel ihres Aufrisses. Die Schmiegungsebene der
Schraubenlinie für den Punkt P schneidet die Zylinderfläche in einer
Ellipse. Diese hat an der Stelle P die gleiche Krümmung wie die
Schraubenlinie, vgl. den Meusnierschen Satz (XII. Abschn. ~ 1). Die
Schmiegungsebene enthält die Flächennormale von P und bildet mit der
Zylinderachse den Winkel 90~- cs. Daraus folgt, daß P ein Scheitel
der kleinen Ellipsenachse ist und daß die beiden Halbachsen die Längen
a = r: cos co und b = r haben (XI. Abschn. ~ 2). Hieraus berechnet
F'. v. Dalwigk, darstellende Geometrie. 1. 16