Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

238 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~ 6
~ 6. Angaben zur Herstellung von Modellen der geradlinigen Flächen
zweiter Ordnung. Die im vorigen Paragraphen besprochenen Projektionen
des einteiligen Hyperbolo i d s mit seinen Geradenscharen geben unmittelbar die Grundlage für ein Fadenmodell dieser Fläche. Man kann das
Modell noch durch den Asymptotenkegel vervollständigen. Die Geraden
des Asymptotenkegels haben die Eigenschaft, daß jede von ihnen zu einer
Geraden in jeder Schar des Hyperboloids parallel ist. Darum kann man
leicht die Geraden des Kegels suchen, welche in dieser Art den konstruierten Geraden des Hyperboloids entsprechen. Das dargestellte Stück
des Hyperboloids wurde durch horizontale Ebenen abgegrenzt, welche
das Hyperboloid in zwei kongruenten Ellipsen schnitten. Der Kegel
wird von den beiden Ebenen in Ellipsen geschnitten, die untereinander
kongruent und zu den anderen Ellipsen ähnlich sind. Die eingeführten
Geraden des Kegels liefern auf diesen Ellipsen wieder eine regelmäßige
Einteilung (affin zu einer gleichmäßigen Einteilung der umbeschriebenen
Kreise). Alles ist einfach durchzuführen. Dabei ist noch eine Beziehung
zu beachten. Jede Gerade des Asymptotenkegels liegt mitten zwischen den
beiden Geraden des Hyperboloids, zu denen sie parallel ist. Deshalb ist
jeder Teilpunkt auf einer der inneren Ellipsen die Mitte der Verbindungssehne zwischen den beiden zugehörigen Teilpunkten der entsprechenden
äußeren Ellipse.
Das math. Seminar zu Marburg besitzt zwei auf diese Art konstruierte, aus meinen Übungen hervorgegangene Fadenmodelle des geradlinigen Hyperboloids und seines Asymptotenkegels. Die starren Teile,
welche die Fäden tragen, wurden beim einen Modell von einem Studenten
in Laubsägearbeit ausgeführt, bei dem anderen, größeren, sind sie vom
Mechaniker in Metall hergestellt.
Im Anschluß an die Projektionen des hyperbolischen Paraboloids
(Fig. 119 auf Taf. VIII und vorletzter Paragraph) erhält man auf mehrere
Arten Modelle. Erstens kann man das Modell durch das unebene
rhombische Viereck abgrenzen, wie in der Figur. Dann dienen geradlinige Reihen von Löchern in Stäben oder Blechstreifen zur Anbringung
der Fäden. Die vier Stäbe werden in feste Verbindung gebracht durch
zwei weitere Stäbe, so daß alle sechs Kanten eines Tetraeders auftreten.
Zweitens kann man die frühere Figur ergänzen durch die Projektionen
der Geradenscharen auf Vertikalebenen, welche zu den Asymptotenebenen
parallel sind. Dann kommt man zu einem Modell des geradlinigen Paraboloids aus geradlinig abgegrenzten Papierstücken in einer Anordnung,
welche sich im Brillschen (Schillingschen) Verlag findet, in der gleichen
Abteilung wie die Kreisschnittmodelle der übrigen Flächen zweiter Ordnung.
Drittens kann man das Paraboloid abgrenzen durch zwei Paare von
Ebenen, welche zu den parabolischen Hauptschnitten der Fläche parallel
sind und diese mitten zwischen sich enthalten. Die Schnittpunkte der