Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~ 5. XIX. Abschnitt. Einiges über die Flächen zweiter Ordnung. 237
gegeben sein. (Fig. 120, Taf. VIII.) Die Kehlellipse sei horizontal, der eine
hyperbolische Hauptschnitt parallel zu TT2. Die drei Halbachsen der Fläche.seien gegeben. Dann erhält man den Grundriß des elliptischen Hauptschnittes und den Aufriß des zu TT1 parallelen hyperbolischen Hauptschnittes,
wobei zuerst die Asymptoten dieser in TT2 liegenden Hyperbel genau konstruiert werden müssen. Darstellen wird man nur ein begrenztes Stück
der Fläche, etwa erstens das Stück zwischen dem elliptischen Hauptschnitt
und 1T1 und dann das dazu kongruente Stück oberhalb des elliptischen
Hauptschnittes. Dann erfolgt die Abgrenzung durch zwei kongruente
Ellipsen mit geradlinigen Aufrissen und mit gemeinsamem Grundriß.
Dieser ist konzentrisch und ähnlich mit dem Grundriß des elliptischen
Hauptschnittes und ist leicht zu konstruieren.
Weiter sollen Geraden der beiden Scharen dargestellt werden, welche
die Kehlellipse in den früher besprochenen Teilpunkten schneiden. Man
könnte diese Einteilung im Grundriß der Kehlellipse herstellen und dann
Tangenten in diesen Punkten an die Ellipse legen. Das wären die Grundrisse der gesuchten Geraden, jede Tangente ist der Grundriß einer Geraden
der einen und einer Geraden der anderen Schar. Hieraus käme man zu
den Endpunkten der Geraden auf den beiden Begrenzungsellipsen der
Fläche und damit zu den Aufrissen der Geraden.
Dieser nächstliegende Weg hat aber den Nachteil, daß mnan. von der
Genauigkeit der gezeichneten Ellipsen abhängig ist. Darum soll noch ein,anderer Weg angegeben werden.
Alle ebenen Schnitte durch die Fläche, welche zu 112 parallel sind,
sind Hyperbeln mit parallelen Asymptoten. Wenn man sich auf die
Ebenen beschränkt, welche vor den Flächenmittelpunkt liegen, so hat
man unter den Hyperbeln einen Grenzfall: Die zu TTS parallele Ebene
durch den vordersten Scheitel der Kehlellipse ist eine Tangentialebene,
schneidet demnach die Fläche in zwei Geraden, und nun sind aus dem
angegebenen Satz die Projektionen dieser Geraden völlig bekannt: Der
gemeinsame Grundriß beider Geraden ist die Tangente im vorderen
Scheitel des Grundrisses der Kehlellipse, die Aufrisse beider Geraden
sind identisch mit den Asymptoten der im Aufriß vorhandenen Hyperbel.
Hieraus folgen die Projektionen der Schnittpunkte dieser zwei Geraden
mit den Horizontalebenen, welche die Begrenzungsellipsen des Flächenstücks enthalten. Damit hat man auf jeder der beiden Begrenzungsellipsen
für jede Geradenschar einen Teilpunkt von der gesuchten regelmäßigen
Einteilung. Mittels des umgeschriebenen Kreises in der Grundrißprojektion
kommt man dann zu den gesuchten Einteilungen und damit zu den Projektionen der Geraden beider Scharen. Alle Grundrisse der Geraden müssen
den Grundriß der Kehlellipse berühren, alle Aufrisse der Geraden müssen
Tangenten der im Aufriß vorkommenden Hyperbel sein. Dargestellt ist
in der Figur nur die eine Geradenschar.