Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

236 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 4-5,
krummlinige Umrißteile auf. Sie sind Stücke von den Projektionen der
beiden parabolischen Hauptschnitte. Zugleich aber sind es, wie man
leicht erkennt, Hüllkurven der im Aufriß und Seitenriß vorkommenden
Geradenscharen. Das entspricht beiläufig dem Satz, daß eine bewegliche
Parabeltangente auf zwei zur Parabelachse symmetrischen festen Tangenten
kongruente Punktreihen erzeugt. - Die einzelnen vorkommenden Geraden
sind in den Richtungen senkrecht zu TT1 und zu T13 immer nur zum Teil
sichtbar, nämlich nur bis zur Kreuzungsstelle mit dem zugehörigen Flächenumriß. Dennoch kommen im Aufriß und im Seitenriß keine punktierten
Strecken vor. Auf die zu punktierende Projektion eines Stückes einer
Geraden fällt jedesmal die ausgezogene Projektion eines Stückes von einer
Geraden der anderen Schar.
~ 5. Das einteilige Hyperboloid und seine Geradenscharen. Diese
Fläche hat drei Symmetrieebenen, mit der einen hat sie eine Ellipse, mit
den beiden anderen hat sie Hyperbeln gemein. Das sind die Hauptschnitte der Fläche. Die Scheitel der beiden Hyperbeln sind identisch
mit den vier Scheiteln der Ellipse. Der elliptische Hauptschnitt ist
zugleich die kleinste auf der Fläche liegende Ellipse, die Kehlellipse.
Die Fläche besitzt zwei Scharen von Geraden. Alle Geraden einer Schar
sind zueinander windschief und nicht zu einer Ebene parallel. Eine
Gerade der einen Schar schneidet alle Geraden der anderen Schar bis auf
eine, zu der sie parallel ist.
Man betrachtet ausgewählte Geraden von jeder Schar, indem man
von ausgewählten Punkten der Kehlellipse ausgeht. Man denkt sich der
Ellipse einen Kreis umbeschrieben, sein Umfang sei in 4n gleiche Teile
geteilt, wobei die Scheitel der großen Ellipsenachse mit zu den Teilpunkten gehören sollen. Von den einzelnen Teilpunkten werden Senkrechte zur großen Ellipsenachse gezogen bis zum Schnitt mit der Ellipse.
Für die Flächengleichung
ac2 + 2 C2 1
sind dann die erhaltenen Punkte durch die Parameterdarstellung
x = a cos p y == b sin g Z = 0
bei gleichen Intervallen von (p gegeben. Stellt man nun die Gleichungen
der Geraden auf, welche in der Fläche liegen und durch je einen solchen
Punkt hindurchgehen, so findet man leicht, daß die Gesamtheit dieser
Geraden der einen Schar auf einer beliebigen zum elliptischen Hauptschnitt parallelen Ellipse der Fläche wieder Punkte ganz entsprechender
Anordnung gibt, nämlich Punkte, welche aus gleichmäßiger Einteilung
des umbeschriebenen Kreises hervorgehen. Nur werden dabei im allgemeinen auf die Scheitel der großen Ellipsenachse keine Teilpunkte fallen.
Der Mittelpunkt des Hyperboloids soll jetzt vor TT2 und über TT1