Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 3-4. XIX. Abschnitt. Einiges über die Flächen zweiter Ordnung. 235
welches mit dem gegebenen zweiteiligen Hyperboloid denselben Asymptotenkegel hat und zu ihm konjugiert ist (in demselben Sinn, wie man von
konjugierten Hyperbeln spricht).
Beim elliptischen Paraboloic kommt mian nicht so einfach zur
Entscheidung, daß es nur zwei Scharen paralleler Kreisschnitte gibt, und
zur genauen Bestimmung ihrer Lage. Da muß iman andere Hilfsmittel
hereinziehen, was zwar nicht schwer ist, aber doch hier zu weit führen
würde. Das hyperbolische Paraboloid hat keine elliptischen, deshalb
auch keine kreisförmigen Schnitte.
Die Kreisschnitte des elliptischen Zylinders sind ebenso zu behandeln wie die des einteiligen Hyperboloids. Die anderen Zylinder
zweiter Ordnung haben keine Kreisschnitte.
~ 4. Das hyperbolische Paraboloid. Das hyperbolische Paraboloid
enthält zwei Scharen von geraden Linien. Die Geraden jeder Schar sind
parallel zu einer festen Ebene, ihrer Richtebene. Beide Richtebenen
heißen auch die Asymptotenebenen der Fläche. Die Schnittlinie dieser
Ebenen ist die eine Hauptachse der Fläche und hat mit ihr einen Punkt
- den Scheitel der Fläche - gemein. Senkrecht zu dieser Achse und
geneigt dazu liegen die Ebenen, welche das Paraboloid hyperbolisch
schneiden. Dabei können echte Hyperbeln oder gekreuzte Geraden auftreten.
Alle ebenen Schnitte parallel zu der Achse sind Parabeln oder einzelne
Geraden; Geraden treten auf, wenn die Ebene zu einer Asymptotenebene
parallel ist. - Es gibt zwei Symmetrieebenen, welche durch die betrachtete Achse gehen und rechtwinklig zueinander sind. Diese Ebenen
enthalten die parabolischen Hauptschnitte.
Die Darstellung des hyperbolischen Paraboloids ist in Fig. 119 auf
Taf. VIII gegeben für den Fall, daß beide Symmetrieebenen vertikal und
zwar parallel und senkrecht zu TT1 sind. Eine dritte Projektionsebene
TT3, welche zu TT1 und TT1 senkrecht ist, ist in die Aufrißebene umgelegt.
Abgegrenzt ist die Fläche durch ein unebenes Viereck, von dem jedesmal ein Paar gegenüberliegender Seiten derselben Geradenschar der Fläche
angehört. Dabei ist das Viereck gleichseitig genommen. Dann folgt
durch einfache Überlegungen, daß alle diese vier Geraden gleiche Neigung
gegen die Horizontalebene haben, daß die Aufrisse und ebenso die Seitenrisse von je zwei Geraden zusammenfallen. So erhält man leicht die drei
Projektionen des unebenen Vierecks, der Grundriß ist rhombisch, die
anderen Projektionen bestehen jede aus zwei zusammenstoßenden Strecken.
Auf zwei gegenüberliegenden Vierecksseiten entstehen durch die der
anderen Schar angehörenden Geraden der Fläche ähnliche Punktreihen.
Man kommt demnach durch gleichmäßige Einteilung der Seiten zu je
einer Reihe von Geraden der beiden Scharen. Hieraus folgen die drei
Projektionen der Geradenscharen. In Aufriß und im Seitenriß treten