Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

234 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 2-3,
die Länge 2b haben. Zu den Durchmessern parallel wählt man zwei
Systeme von Sehnen in regelmiäßiger Anordnung, etwa beide Systeme
äquidistant und zueinander kongruent. Hiermit hat man die Durchmesser für ausgewählte Kreisschnitte der beiden Scharen. Weiter aber
hat man die gegenseitige Lage aller dieser Kreisschnittebenen, weil die
Ebenen senkrecht zum benutzten Hauptschnitt stehen. Damit ist die
Herstellung eines aus Kreisschnitten zusammengesetzten Papiermodells
eines Ellipsoids erledigt. Solche Modelle finden sich im Brillschen, jetzt
Schillingschen Verlag. - Durch ein solches Modell wird nicht nur ein
einziges Ellipsoid dargestellt, sondern ein ganzes System. Daß das Modell
beweglich bleibt, ist klar, aber daß für jede Stellung des Modelles die
sämtlichen Kreise auf einem Ellipsoid liegen, das bedarf eines Beweises.
Hier werde nicht näher darauf eingegangen.
~ 3. Die Kreisschnitte der anderen Flächen zweiter Ordnung.
Beim allgemeinen einteiligen Hyperboloid liege der elliptische Hauptschnitt horizontal. Dann sind alle vertikalen Schnitte hyperbolisch, alle
Horizontalschnitte sind Ellipsen, unter den geneigten Schnitten kommen
Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln vor. Demnach müssen alle auftretenden
Kreisschnitte geneigte Schnitte sein. Zu jedem vorhandenen Kreisschnitt
gibt es einen parallelen Kreisschnitt, dessen Ebene durch den Mittelpunkt der Fläche geht. Man betrachtet zuerst eine Schnittebene, welche
durch die große Achse des elliptischen Hauptschnittes geht und deren
Neigung wechselt. Durch entsprechende Überlegungen wie im vorigen
Paragraphen erkennt man, daß hierbei ein Kreisschnitt und ein zweiter
dazu symmetrischer vorkommen. Ebenso findet man, daß durch die kleine
Achse des elliptischen Hauptschnittes niemals die Ebene eines Kreisschnittes geht. Weiter betrachtet man geneigte Ebenen, welche die
Ebene des elliptischen Hauptschnittes in einem allgemeinen Ellipsendurchmesser schneiden. Dann läßt sich, wie im vorigen Paragraphen,
zeigen, daß eine solche Ebene nie einen Kreisschnitt der Fläche enthält.
So ist das Vorhandensein nur zweier Scharen von Kreisschnitten
bewiesen und die Lage dieser Scharen ist festgestellt. Daran könnte
sich die Konstruktion eines Papiermodelles aus Kreisschnitten anschließen
wie beim Ellipsoid.
Ist ein Kegel zweiter Ordnung gegeben, so kann man (auf unendlich viele Arten) ein einteiliges Hyperboloid angeben, welches diesen
Kegel zum Asymptotenkegel hat. Nach einem bekannten Satz werden
diese beiden Flächen dann von derselben Ebene immer gleichzeitig in Kreisen
geschnitten; beiläufig sind die beiden Kreise jedesmal konzentrisch. Hiermit sind die Kreisschnitte des Kegels zweiter Ordnung erledigt, auch
nach der konstruktiven Seite. Dasselbe gilt für das zweiteilige Hyp erboloid. Da nimmt man wieder ein einteiliges Hyperboloid zu Hilfe,