Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~ 2. XIX. Abschnitt. Einiges über die Flächen zweiter Ordnung. 233
durch die mittlere Achse. Diese Ebene schneidet die Fläche in einer
Ellipse, und aus den Symmetrieverhältnissen der Fläche folgt, daß die eine
Hauptachse der Ellipse in der horizontalen Symmetrieebene der Fläche
liegt, während die andere Hauptachse auf der vertikalen mittleren Achse
des Ellipsoids liegt. Die Schnittellipse hat eine konstante Länge 2b der
vertikalen Hauptachse, ihre horizontale Hauptachse verändert ihre Länge
bei Drehung der Ebene; der kleinste Wert ist 2c, der größte Wert 2a.
Für eine bestimmte Stellung (und eine zweite dazu symmetrische) kommt
als Wert der horizontalen Ellipsenachse 2b heraus. Dann und nur dann
wird die Ellipse zu einem Kreis. Hiermit sind zwei Kreisschnitte des
Ellipsoids gefunden, welche durch die Scheitel der mittleren Achse hindurchgehen. Weil aber parallele ebene Schnitte des Ellipsoids ähnliche
Ellipsen in ähnlicher Stellung sind, so hat man jetzt zwei ganze Scharen
von Kreisschnitten gefunden.
Durch entsprechende Uberlegungen erkennt man, daß es keine Kreisschnitte gibt, welche die größte oder die kleinste Hauptachse des Ellipsoids
zu einem Durchmesser haben. Gäbe es nun überhaupt noch einen Kreisschnitt der Fläche, so würde die dazu parallele und durch den Flächenmittelpunkt gehende Ebene E ebenfalls einen Kreisschnitt liefern und
nach dem Vorhergesagten ginge E durch keine der Hauptachsen. Die
Schnittlinie g von E mit der horizontalen Symmetrieebene der Fläche
fällt mit keiner der horizontalen Hauptachsen zusammen und bestimmt
ein Bündel paralleler Sehnen der Fläche. Der Ort der Sehnenmitten
oder die zur Richtung von g konjugierte Diametralebene steht vertikal
(was wieder aus den Symmetrieverhältnissen der Fläche hervorgeht) und
ihre Spur in der horizontalen Hauptebene ist der zu g konjugierte Durchmesser des horizontalen Hauptschnittes der Fläche. So steht die Diametralebene nicht senkrecht zu g. Deshalb steht auch jede durch den
Flächenmittelpunkt gehende und von der mittleren Achse des Ellipsoids
verschiedene Gerade der Diametralebene schief zu g, z. B. die Schnittlinie
der Ebene E und der Diametralebene. Hiermit hat man einen Widerspruch gegen die Annahme, daß in der Ebene E ein Kreisschnitt
liege, denn ein Kreis hat nur rechtwinklige Paare konjugierter Durchmnesser.
Hiermit ist vollständig bewiesen, daß das dreiachsige Ellipsoid nur
zwei Systeme von parallelen Kreisschnitten hat. Die Ebenen aller Kreisschnitte sind zur mittleren Achse parallel, und ihre Lage ist oben noch
näher festgestellt.
Diese theoretische Untersuchung ermöglicht die folgende konstruktive Anwendung. Aus den gegebenen Hauptachsen a, b, c (a > b > c)
bestimmt man den elliptischen Hauptschnitt, welcher die größte und kleinste
Achse enthält. Ihn schneidet man mit einem konzentrischen Kreis vom
Radius b, dadurch kennt man die beiden Durchmesser der Ellipse, welche