Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 3-ö. I. Abschnitt. Punkt und Gerade. 7
Steht endlich g senkrecht zu TTi, so haben alle Punkte von g gemeinsamen Grundriß. Der Grundriß von g reduziert sich demnach auf
einen Punkt, der Aufriß ist eine zur Achse senkrechte Gerade. Es gibt
in diesem Falle keine erste projizierende Ebene für g.l) - Falls g seikrecht zu TT- steht, ist entsprechend g" punktförmig und g' eine zur Achse
senkrechte Gerade (Fig. 4). Über Gi und G2 ist ~ 7 zu vergleichen.
Zwei Geraden, deren eine zur Achse senkrecht ist, während die andere
dazu schief verläuft, können nie Grund- und Aufriß einer Geraden des
Raumes sein, ebenso wenig zwei zur Achse senkrechte Geraden, welche
die Achse in verschiedenen Punkten treffen.
~ 4. Auf der Geraden liegende Punkte. g' enthält nach ~ 2 die
Grundrißprojektionen, g" die Aufrißprojektionen aller Punkte von g. Einige
Folgerungen hieraus sind wichtig: Sind von g die beiden Projektionen g'
und g" gegeben und zwar im allgemeinen Fall, wo sie beide zur Achse
schief stehen2), und ist der Grundriß P' eines Punktes P von g auf g'
gegeben, so findet man P" auf g" als Schnitt mit der durch P' gelegten
Senkrechten zur Achse. Ahnlich findet man P', wenn P" auf g" gegeben
ist'). (Fig. 3b a. v. S.)
Sind von einer Geraden g zwei Punkte P und Q gegeben, jeder
durch seine beiden Projektionen, so sind daraus die Projektionen g
und g" von g in folgender Art bestimmt: g' geht durch P' und Q', g"
ebenso durch P" und Q". Die Bestimmung der Länge von PQ wird in
~~ 8-10 behandelt.
~ 5. Zusatz. Wenn R auf g liegt und wenn g', g" und R gegeben
sind, dann reicht zuweilen das im vorigen Paragraphen angegebene Verfahren zur Bestimmung des R" nicht aus. Das tritt ein, wenn g" einen
großen Winkel mit der Achse bildet. Die Vertikale durch iR' schneidet
dann g" ungünstig, "zu spitz". Falls aber auf g' und g" die Projektionen zweier Punkte P und Q von g bekannt sind, kommt man auch
1) Die erste projizierende Ebene einer Geraden g wurde mittels der Gesamtheit der ersten Projektionslote definiert, nicht etwa als Ebene durch g senkrecht zu TT1.
Wollte man diese letzte Definition wählen, dann wäre im eben betrachteten Fall die
erste projizierende Ebene unbestimmt, und bei Annahme einer ihrer Lagen hätte man
die Schwierigkeit, daß nicht ihre Schnittlinie mit TT1 der Grundriß von g wäre.
Damit ist diese Definition als ungeeignet erkannt.
2) Der andere Fall wird erst in ~ 14 behandelt.
3) Wie schon in ~ 1 angegeben wurde, wählt man gern P iber TT1 und vor TTI.
Dann liegt in Figur 3b P" über, P' unter der Achse, d. h. P" liegt senkrecht über P'.
Sind demnach in der ebenen Figur g', g" und P' (auf g') gegeben, dann sagt man
kurz: P" folgt senkrecht über P' auf g", oder P wird auf g" hinaufgelotet (nicht
etwa,,P' wird auf g" hinaufgelotet", denn man bestimmt die zweite Projektion von P,
nicht von P'). Diese Ausdrücke sind so bequem, daß man sie gelegentlich da verwendet, wo sie nicht mehr wörtlich zutreffen.