Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

230 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 23-24.
D enthält, kürzer als der, welcher C enthält, und an seinen Endpunkten
hat die geschlossene Kurve Ecken, ihre einzigen beiden Ecken.
Die Konstruktion ist nach ~ 21 einfach durchzuführen, auch erhält
man leicht die zugehörigen Schattenlinien auf 1T1, d. h. den Innenrand des
auf TT1 fallenden Schattens der Ringfläche.
Doch soll der Innenrand des in TT[ liegenden Schattens nicht bloß
im Zusammenhang mit der inneren Lichtgrenze des Ringes betrachtet
werden. Man nimmt schräg unterhalb des Ringes eine Hilfsebene H,
welche zur Lichtrichtung senkrecht ist. Die auf TT1 und auf H geworfenen
Ringschatten sind perspektivisch affin zueinander. Der Schatten auf H
entspricht völlig der Grundrißprojektion des schief gestellten Ringes von
~~ 17, 18. Hierdurch gewinnt man das einfachste Urteil über seine
Form und damit über die Form des Ringschattens auf TT1, ebenso über
die Formänderung bei Änderung der Steilheit des auf den liegenden
Ring fallenden Lichtes.
Wenn nur ein dünnes Lichtbündel durch die Ringöffnung dringt, so
tritt in H als innerer Schattenrand ein Bogenzweieck auf, welches einen
Teil der mit vier Spitzen versehenen inneren Aquidistanten einer Ellipse
bildet. Wird das Licht steiler, so ändern sich die Ellipse und die innere
Aquidistante, das Bogenzweieck wird schließlich zur ganzen Aquidistante,
indem deren Spitzen paarweise zusammenrücken. In diesem Augenblick
wird die Kurve in H oval, und auf der Ringfläche sind die Punkte F und H
und ebenso E und G zusammengerückt; die ganze Kurve CFIHDGE
ist zur Lichtgrenze geworden. Ihr Grundriß hat keine eigentlichen Doppeltangenten mehr, ihr Aufriß hat nur noch eine zu l" parallele Tangente,
die zugleich seine Wendetangente ist. - Vgl. den Schluß von ~ 24.
Wird die Steilheit des Lichtes noch erhöht, so bleibt die innere
Schattengrenze in H (oder in TT1) ein Oval mit zwei Symmetrieachsen.
Ebenso ist dann auf der Ringfläche die innere Kurve, für welche die
Tangentialebenen der Fläche zur Lichtrichtung parallel sind, in ihrer ganzen
Ausdehnung ein Teil der Lichtgrenze, aber sie hat nirgends Tangenten,
die in die Lichtrichtung fallen.
~ 24. Die Tangenten der Lichtgrenze, und Verwandtes. Die Lichtgrenze und die anderen Kurven auf der Ringfläche wurden bisher nur
punktweise bestimmt, was fürs Zeichnen ausreicht. Die Tangentenkonstruktion für die gefundenen einzelnen Kurvenpunkte hat i. w. mathematisches Interesse. Sie folgt leicht aus einem Satz der Flächentheorie.
P sei ein beliebiger Punkt der Kurve, an welcher die Tangentialebenen der Fläche zur Lichtrichtung parallel sind. Dann sind die Kurventangente von P und die durch P gehende Gerade der Lichtrichtung konjugierte Tangenten, d. h. sie fallen auf konjugierte Durchmesser der
Dupinschen Indikatrix des Punktes P. Die Indikatrix wurde in ~ 14