Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 16-17. XVIII. Abschnitt. Rotationsfltchen. 223
halb findet ein Zerfallen in zwei Kurven zweiter Ordnung statt. Diese
haben zusammengenommen die imaginären Kreispunkte ihrer Ebene E zu
Doppelpunkten und sind darum selbst Kreise. Damit ist bewiesen, daß
eine zweimal berührende Tangentialebene mit der Fläche zwei Kreise
gemein hat. Die beiden Kreise gehen durch die beiden Berührungspunkte
hindurch und sind kongruent, weil die aus ihnen gebildete Kurve eine
Symmetrieachse hat. Ihre Konstruktion ist ganz einfach; die Punkte, in
denen die Ebene E den ersten Umriß der Fläche durchkreuzt, werden dabei
verwendet.
Man kann den Satz übrigens weit elementarer beweisen, vgl. Wiener II,
S. 165, 166 oder Rohn-Papperitz II, S. 13-15 (1. Aufl.), I, S. 318-320
(3. Aufl.).
Läßt man die beiden Kreise in starrer Verbindung mit der Rotationsachse um diese rotieren, so erkennt man, daß die Ringfläche außer den
beiden in ~ 7 betrachteten Kreisscharen noch zwei weitere Kreisscharen
besitzt.
~ 17. Die Projektionen der Ringfläche für allgemeinere Stellung.
Die zur Rotationsachse senkrechte Symmetrieebene des Ringes wird senkrecht zu einer Projektionsebene, zu TT2, genommen. ) Der Aufriß der Ringfläche ist dann kongruent zu dem Aufriß für die früher betrachtete Lage,
nur gedreht gegen die frühere Stellung. Der Grundriß ist durch folgende
Überlegung leicht zu erhalten. (Fig. 117 auf Taf. VIII.)
Man geht von der Erzeugung der Ringfläche als Hüllfläche einer
bewegten Kugel vom Radius r aus (~ 7). Der Grundriß des vom Kugelmittelpunkt M beschriebenen Kreises ist eine Ellipse, und wenn man auf
ihr eine bestimmte Lage von M' wählt, so ist ein um diesen Punkt beschriebener Kreis vom Radius r der Umriß für die Projektion der zugehörigen Lage der Kugel. Nimmt man die Hüllkurve für die Gesamtheit
derartiger Kreise, so hat man die Umrißlinie für die Grundrißprojektion
des Ringes. Dadurch ist dieser Umriß eine äquidistante Kurve der elliptischen Kreisprojektion. Zu ihrer Konstruktion gelangt man am besten,
indem man um zahlreiche Punkte der genau gezeichneten Ellipse Kreise
vom Radius r zieht. Auch wenn die Kreislinien wegen des harten Bleieinsatzes des Zirkels wenig hervortreten, so wird die Hüllkurve von selbst
ganz deutlich. Natürlich braucht man nicht die ganzen Kreise, sondern
nur die Stücke, welche nahe an die Hüllkurve kommen. Die Hüllkurve
besteht aus einem die Ellipse umschließenden ovalen Teil und aus einem
innerhalb der Ellipse verlaufenden Teil. Dieser kann oval sein oder vier
Spitzen haben. Näheres, auch über die Grenzfälle, in ~ 18. Die Spitzen und
die Krümmungsmittelpunkte der Hüllkurve fallen auf die Evolute der Ellipse.
1) Über allgemeine Stellung des Ringes siehe den Schluß von ~ 18.