Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

222 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 15-16.
an. Der Schnitt der Fläche mit einer Ebene E hat deshalb die beiden
imaginären unendlich fernen Punkte zu Doppelpunkten, in welchen die
Ebene den imaginären Kugelkreis schneidet. Diese Punkte sind die
imaginären unendlich fernen Kreispunkte von E. Demnach hat jede
ebene Schnittkurve der Ringfläche ein Paar imaginärer Doppelpunkte, sie
kann daneben nur noch einen reellen Doppelpunkt haben, solange sie
nicht zerfällt. Natürlich gehört dieser Doppelpunkt der Symmetrieachse,
der Schnittlinie von Z und E an.
~ 16. Über die verschiedenen Fälle, welche beim ebenen Schnitt
der Ringfläche auftreten können. In ~~ 10-l15 wurde ausführlich der
Fall behandelt, wo der Schnitt der Ringfläche mit der Ebene E in zwei
getrennte Hälften zerfällt, welche zu beiden Seiten der Symmetrieachse
liegen. Dieser Fall tritt ein, wenn die Schnittlinie g von Ei und E
zwischen den beiden Kreisen verläuft, in welchen Z die Ringfläche schneidet.
Wenn g den einen Kreis schneidet und den anderen nicht schneidet,
so entsteht eine einteilige Schnittkurve, welche ihre Symmetrieachse g an
zwei Stellen rechtwinklig durchkreuzt. Schneidet g die beiden Kreise,
dann besteht die Kurve aus zwei geschlossenen Teilen, deren einer den
anderen umschließt; jeder. Teil kreuzt die Symmetrieachse zweimal rechtwinklig.
Es bleiben noch die Fälle, wo g den einen oder beide Kreise berührt.
Wenn g den einen der Kreise berührt, berührt die Ebene E die Ringfläche in diesem Punkt. Nach einem bekannten Satz aus der Flächentheorie ist die Berührungsstelle ein Doppelpunkt für die Schnittkurve,
und zwar ein Doppelpunkt mit reellen Tangenten, sobald die Berührungsstelle dem hyperbolisch gekrümmten Flächenteil angehört, was hier sicher
eintritt. Auch die Doppelpunktstangenten sind hier sofort bekannt, es
sind die Asymptoten der Dupinschen Indikatrix der Berührungsstelle.
Nach dem früher Besprochenen ist demnach die Konstruktion der Doppelpunktstangenten recht einfach. Wird nur der eine Kreis von g berührt
(auf der dem anderen Kreis zugekehrten Innenseite) und geht g an andern
Kreis vorbei, dann hat man eine einteilige Kurve mit einem auf der
Symmetrieachse liegenden Doppelpunkt. Wird der eine Kreis berührt
und schneidet g den anderen Kreis, dann hat man ebenfalls eine einteilige
Kurve mit einem Doppelpunkt und außerdem noch mit zwei rechtwinkligen Durchkreuzungen der Symmetrieachse.
Der letzte Fall ist der, wo g eine innere gemeinsame Tangente beider
Kreise ist. Hier hat man zwei Doppelpunkte, beide liegen auf der Symnetrieachse. Nach ~ 15 kann jedoch außer den beiden imaginären unendlich fernen Kreispunkten der Ebene E nur ein Doppelpunkt vorkommen, solange die Kurve nicht zerfällt. Demnach zerfällt die Schnittkurve. Gerade Linien können bei diesem Zerfallen nicht auftreten, des