Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

.~~ 14-15. XVIII. Abschnitt. Rotationsflächen. 221
Hyperbeln. Sie teilen die Tangentialebene in zwei Paare von Scheitelwinkeln. Liegt die Tangente des Punktes Q der gegebenen Schnittkurve in dem Paar von Scheitelwinkeln, welches die Meridiantangente
enthält, dann ist die Kurve bei Q gegen den Innenraum der Fläche
konkav. Liegt sie im anderen Paar, dann ist die Kurve gegen den
Innenraum konvex. Fällt die Kurventangente mit einer Asymptote der
Indikatrix zusammen, dann hat die Kurve für die Stelle Q unendlich
großen Krümmungsradius, d. h. im allgemeinen liegt ein Wendepunkt
vor. Die Entscheidung zwischen diesen Fällen ist konstruktiv leicht
durchzuführen, indem man die in der Tangentialebene von Q auftretende
Figur in wahrer Gestalt zeichnet, etwa durch Umlegung um die Grundrißspur. Anwenden wird man dieses Verfahren allerdimgs nur dann, wenn
sonst Zweifel über die Form der Kurve bestehen bleiben. Leider läßt
sich das Verfahren nicht so umgestalten, daß es zur Auffindung der
Wendepunkte führt.
~ 15. Folgerungen aus der algebraischen Natur der Schnittkurve.
Die Ringfläche ist eine Fläche vierter Ordnung. Ihre Schnittlinie mit
der Ebene E ist deshalb eine Kurve vierter Ordnung. Sie selbst und
jede ihrer Projektionen kann mit einer Geraden nicht mehr als vier einfache Punkte gemein haben; ein Berührungspunkt zählt als zwei einfache Punkte, ein Wendepunkt, in welchem die Kurve von der Geraden
berührt wird, zählt als drei einfache Punkte. Die Beachtung dieser Beziehung ist für das richtige Zeichnen der Kurven wesentlich. Manches
nähere darüber ist schon im XV. Abschnitt ausgesprochen worden (~ 13).
Aus dem vorigen Paragraphen ist bekannt, daß Wendepunkte der Kurve
nur möglich sind auf den Kurvenstücken, welche den inneren, hyperbolisch gekrümmten Flächenteil angehören. An den Endpunkten dieser
Kurvenstücke besteht Konkavität gegen den Innenraum der Fläche, wie
man leicht sieht. So können auf einem solchen Kurvenstücke entweder
keine Wendepunkte oder eine gerade Zahl von Wendepunkten auftreten,
d. h. 0 oder 2 Wendepunkte. Denn bei einer größeren geraden Anzahl
entstände ein Widerspruch gegen den Satz, daß die Maximalzahl der
Schnittpunkte mit einer Geraden vier beträgt. In der Fig. 116 hat
man zwei Wendepunkte auf jedem Kurvenstück. Bei wesentlich steilerer
Ebene E - vorausgesetzt, daß der Schnitt g von E und E noch zwischen
den zwei Kreisen verläuft - hätte man gar keine Wendepunkte. Danach
richtet sich auch die Zahl der Doppeltangenten. - Eine Wendetangente
der einen Kurvenhälfte geht unbedingt neben der anderen Kurvenhälfte
vorbei.
Weil die Fläche Hüllfläche einer bewegten Kugel ist (vgl. ~ 7), und
weil alle Kugeln den imaginären unendlich fernen Kugelkreis enthalten,
so gehört dieser imaginäre Kugelkreis der Fläche selbst als Doppelkurve