Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

220 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 13-14.
weitere horizontale Hilfsebenen aus. Besser ist jedoch ein anderes Verfahren, welches dazu führt, alle die Tangenten der in E liegenden Kurve
zu bestimmen, welche durch den Schnittpunkt von E mit der Rotationsachse hindurchgehen.
Eine Hilfsebene H durch die Rotationsachse a der Fläche sei gegeben. Der Schnitt von H mit der Fläche besteht aus zwei Kreisen und
ist zur Aufrißfigur oder Seitenrißfigur kongruent. Der Schnitt von H und
E ist eine Gerade, von der man den Schnittpunkt mit a und den Grundrißspurpunkt (auf ei) kennt. So läßt sich die wahre Gestalt der in H
auftretenden Figur zeichnen, am einfachsten dadurch, daß man nur die
Gerade in die Aufrißfigur oder die Seitenrißfigur einträgt, womit diese
Figur natürlich aufhört, ein eigentlicher Aufriß oder Seitenriß zu sein.
Andererseits kann man die Grundrißspur der Ebene H nicht beliebig geben,
sondern aus der Forderung bestimmen, daß H eine Übergangslage sein soll
zwischen den die Kurve schneidenden und den die Kurve nicht schneidenden
Ebenen durch die Achse. In der wahren Gestalt der in H liegenden Figur
muß dann eine Berührung zwischen der Geraden und dem einen Kreis eintreten. Hieraus kommt man zu den Grundrißspuren der ausgezeichneten
Ebenen. Im Falle der Figur gibt es vier solche Ebenen. Sie schneiden
E in Geraden, welche die in E liegende Kurve berühren und vom Schnittpunkt der Rotationsache mit E ausgehen.
~ 14. Einiges über die konkave und konvexe Seite der Schiittkurve
und über die Wendepunkte. Die Ringfläche zerfällt durch ihren höchsten
und tiefsten Horizontalkreis in einen äußeren und einen inneren Teil.
Der äußere Teil ist elliptisch gekrümmt. Demnach ist die Schnittkurve,
soweit sie dem äußeren Teil der Fläche angehört, unbedingt gegen den
Innenraum der Fläche konkav. Dagegen kann der Teil der Schnittkurve,
welcher dem inneren Teil der Fläche angehört, gegen den Innenraum der
Fläche teils konkav, teils konvex sein. Ein Punkt auf diesem Kurvenstück heiße Q. Seine beiden Krilmmungslinien sind ein Meridiankreis
und ein Horizontalkreis der Fläche. Daraus ergeben sich die Hauptkrümmungsradien für Q, der eine, Ri, ist der Radius des Meridiankreises,
der andere, B2, ist die bis zur Rotationsachse genommene Länge 1 der
von Q ausgehenden Flächennormale.1) Die Dupinsche Indikatrix des
Punktes Q liegt in seiner Tangentialebene und ist hyperbolisch. Ihre
Hauptachsen sind die Tangenten, welche in Q an die Kriimmungslinien
gelegt sind, sie selbst besteht aus zwei konjugierten Hyperbeln, deren
Scheitel die Abstände /R1 bzw. 1/R2 vom Mittelpunkt Q haben. Man
braucht aber nur die gemeinsamen Asymptoten des Paares konjugierter
1) Hier führt man am einfachsten die Krüimmungsradien beide als positive
Größen ein, im Gegensatz zur Eulerschen Formel auf S. 129.