Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

218 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~ 11-12.
Man weiß schon, daß die Schnittkurve aus zwei getrennten Teilen
besteht, und daß ihr Grundriß symmetrisch ist zur Spur s1 von Z. Darum
ist jetzt der Verlauf beider Projektionen der Kurve gut zu übersehen.
Aber das genaue Zeichnen der Projektionen erfordert doch noch verschiedene Untersuchungen und Konstruktionen. Nämlich für die einzelnen,
Punkte der Kurve sind zum Teil wenigstens die Tangenten sehr wesentlich, weiter muß man für jede Kurvenprojektion ihre Berüihrungsstellen
mit dem Umlriß der betreffenden Projektion des Ringes feststellen. Beides
wird in ~ 12 behandelt, dann bieten die folgenden Paragraphen noch
Wichtiges über die Eigenschaften und die Form der Kurve.
~ 12. Die Tangenten der Schnittklirve unud dlie Kreuzungen der Kurve
mit den Umrißlinien. Einer der gefundenen Kurvenpunkte sei Q. Seine
Tangente liegt in E und in der zum Punkt Q gehörigen Tangentialebene
der Fläche. Die Grundrißspur dieser Tangentialebene wird gefunden,
wie in ~ 1 dieses Abschnitts. Ihr Schnitt mit e1 ist der Grundrißspurpunkt der gesuchten Kurventangente. Daraus folgen beide Projektionen
der Tangente des Punktes Q. Die Konstruktion ist einfach genug, um
sie für eine Reihe der früher bestimmten Kurvenpunkte durchzuführen.
Uberall, wo Zweifel iiber die Richtung der Kurvenprojektionen bestehen,
muß man die Tangente konstruieren. Wenn der Grundrißspurpunkt der
Tangente von Q zu nahe an Q liegt, so werden die Projektionen der
Tangente ungenau. Dann muß man das Verfahren geeignet abändern,
z. B. kann man leicht die obere horizontale Tangentialebene des Ringes
betrachten, die in ihr liegende Spur der Tangentialebene von Q suchen
und hierdurch den in ihr liegenden Spurpunkt der Kurventangente von Q
bestimmen.
Damit die Kurventangente für einen Punkt horizontal ist, muß
die Tangelntialebene dieses Punktes entweder horizontal sein oder eine zu
e1 parallele Grundrißspur haben. Daraus findet man leicht die betreffenden
Punkte. Weil im Fall der Figur kein Kurvenpunkt in der Ebene Z
liegt, so hat für keinen Punkt die Tangentialebene eine zu ec parallele
Grundrißspur. Deshalb haben nur die Kurvenpunkte in den beiden
horizontalen Tangentialebenen des Ringes horizontale Tangenten.
Wenn (wie hier in der Figur) E weder zu 1TT noch zu 17 senkrecht
ist, so ist keine einzige Tangente zu TT1 oder zu -TT senkrecht, d. h. es tritt
in keiner der Projektionen ein Rückkehrpunkt auf. (Hierzu sind ~~ 24, 25
im XV. Abschnitt zu vergleichen.) Ebensowenig wie Spitzen kommen in
den Kurvenprojektionen Ecken vor, was nicht näher begründet werden soll.
Der erste Umriß der Ringfläche besteht aus zwei konzentrischen
Kreisen in der horizontalen Symmetrieebene der Fläche. Seine gemeinsamen Stellen mit der Schnittkurve sind schon bestimmt worden. Im
Raum handelt es sich um Kreuzungspunkte, in der Grundrißfigur um