Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

:~ 7-8. XVIII. Abschnitt. Rotationsflächen. 215
zwei berührenden Horizontalebeene; diese berühren die Fläche jede in
einer ganzen Kurve, in einem Kreis, in der Bahn des höchsten oder
tiefsten Punktes des rotierenden Kreises.
Bei jedem Meridiankreis kanln man eine innere, der Rotationsachse
zugekehrte Hälfte und eine äußere Hälfte unterscheiden. Der bei der
Rotation von der inneren Hälfte erzeugte Teil der Ringfläche ist überall
hyperbolisch (sattelförmig) gekrümmt. Der andere Flächenteil hat überall elliptische Krümmung. Beide Teile stoßen in den zwei Kreisen zusammen, welche den horizontalen Tangentialebenen der Fläche angehören.
In den Punkten dieser Kreise ist die Ringfläche parabolisch gekrümmt.')
Die Ringfläche war durch Rotation eines Kreises erzeugt worden.
Sie ist aber auch die Hüllfläche einer bewegten Kugel. Denn eine
Kugel, welche einen Meridiankreis der Fläche als größten Kreis besitzt,
liegt ganz im Innern der Fläche und berührt die Fläche längs des
Meridiankreises. Läßt man die Kugel um die Achse der Ringfläche
rotieren, dann tritt die Ringfläche als Hüllfläche auf. Der Kugelmittelpunkt beschreibt dabei eine kreisförmige Bahn vom Radius R.
~ 8. Die Projektionen des Kreisringes bei vertikaler Rotationsachse
(Fig. 116 auf Tafel VIII). Der Kreisring liege auf TT1, d. h. TTF sei die
untere seiner beiden horizontalen Berührungsebenen. Man erhält die
Projektionen der Bahn des Kreismittelpunktes M. Die einzelnen Lagen
des rotierenden Kreises sind vertikal. Die Projektionen einer solchen
Lage braucht man nicht zu zeichnen. Man sieht, daß der Grundriß des
Ringes durch zwei konzentrische lKreise begrenzt ist, die die Radien
R + r und R - r haben. Der Aufriß der Fläche liegt zwischen der
Projektionsachse und der Aufrißspur der oberen horizontalen Berührungsebene. Außer durch Stücke dieser Geraden wird er durch die Aufrisse
je einer Hälfte der beiden zu lT2 parallelen Lagen des Erzeugungskreises
begrenzt.
Die Umrisse der Projektionen im elementaren Sinn sind damit erhalten. In ~ 21 des VI. Abschnittes wurde der Begriff der Körperumrisse für die erste und zweite Projektionsrichtung eingeführt, in einer
elementaren und einer allgemeineren Art. Im. allgemeineren Sinn war der
erste oder zweite Umriß am Körper definiert als die Gesamtheit der Flächenpunkte, deren Tangentialebenen zu TTI oder zu FTT senkrecht sind. Der
1) Beiläufig sei erwähnt, daß bei der Ringfläche die eine Hauptkrümmung in
einem parabolischen Punkt Null ist. Demnach hat auch jede Kurve der Fläche,
welche durch einen parabolischen Punkt geht und dort die parabolische Kurve berührt, die Krümmung Null, solange die Schmiegungsebene noch von der Tangentialebene verschieden ist. Im Grenzfalle, wo die Schmiegungsebene mit der Tangentialebene zusammenfällt, wird die Krümmung 1: R wegen Osculation mit der parabolischen Kurve. Alles dies steht im Einklang mit dem Meusnierschen Satz.