Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

214 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 6-7.
Asymptotenkegel schneidet; bei dieser Hyperbel aber liegen die Scheitel
auf X, sie sind leicht zu finden und sie geben den gesuchten Mittelpunkt.
So braucht man zur Bestimmung dieses Punktes nicht zurückzugreifen
auf die bekannten Sätze über den geometrischen Ort der Mittelpunkte
paralleler ebener Schnitte einer Fläche zweiter Ordnung. - Im parabolischen Fall ist die Schnittlinie von E und Z die Hauptachse der
Parabel, auf ihr findet man den Scheitel. Außerdem braucht man nur
noch die Endpunkte einer zur Hauptachse senkrechten Sehne der Parabel
zu bestimmen, dann lassen ~sich die Projektionen der Parabel zeichnen
vgl. den XII. Abschn. ~ 12.
Die verschiedenen Fälle der Lichtgrenze und des Schattens für
Parallel- oder Zentralbeleuchtung bieten beim zweiteiligen und besonders
beim einteiligen Rotationshyperboloi Interesse. Die Lichtgrenze für den
Lichtpunkt L ist dasselbe wie der sichtbare Umriß für ein in L befindliches Auge. Je nach der Lage von L zur Fläche und dem Asymptotenkegel hat man verschiedene Fälle. Sind die Lichtstrahlen untereinander
und zu TT2 parallel, so geht die Ebene der Lichtgrenze durch den Mittelpunkt der Fläche und ist zu TT2 senkrecht. Ihre Aufrißspur ist der konjugierte Durchmesser zum Aufriß der Lichtrichtung für die Hyperbel,
welche den Umriß des Flächenaufrisses bildet. (Konjugierte Durchmesser
einer Hyperbel sind harmonisch zu den Asymptoten, das benutzt man
zur Konstruktion).
Im XIX. Abschnitt werden die geradlinigen Flächen zweiter Ordnung
näher betrachtet (~~ 4-7), dort wird auch noch etwas näher auf das
geradlinige Rotationshyperboloid eingegangen.
~ 7. Der Kreisring. Unter den Rotationsfiächen soll noch der
Kreisring ausführlich betrachtet werden. Er entsteht durch Rotation
eines Kreises um eine in seiner Ebene liegende und ihn nicht schneidende
Achse. Der Kreis habe den Radius r und sein Mittelpunkt stehe um R
von der Rotationsachse ab. Die Achse wird in den nächsten Paragraphen
vertikal angenommen. Dann beschreibt bei der Rotation jeder Punkt
des erzeugenden Kreises eine Kreislinie in horizontaler Ebene. Die ganze
Fläche wird von zwei Systemen von Kreisen bedeckt: von Meridiankreisen (das sind die sänmtlichen Lagen des erzeugenden Kreises) und von
horizontalen Parallelkreisen.1) Jede Ebene durch die Rotationsachse des
Ringes ist eine Symmetrieebene. Außerdem gibt es noch eine zur
Rotationsachse senkrechte Symmetrieebene der Fläche.
Eine Horizontalebene, welche den Ring schneidet, hat mit ihm zwei
Kreise gemein. Alle diese schneidenden Horizontalebenen liegen zwischen
1) Zwei weitere Systeme von Kreisen, welche ganz in der Fläche liegen, treten
in ~ 16 auf.