Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 5-6. XVIII. Abschnitt. Rotationsflächen 213
Symmetrieachsen liegen. Die gemeinsamen Asymptoten der beiden von
E aus dem Hyperboloid und aus dem Kegel ausgeschnittenen Hyperbeln
sind parallel zu den zwei Geraden, in welchen die oben eingeführte
Parallelebene H den Asymptotenkegel durchschneidet. - Daß eine Ebene
ein geradliniges Hyperboloid auch in einer zerfallenden Hyperbel, in einem
Geradenkreuz schneiden kann, ist bekannt, die Ebene ist dann eine Tangentialebene.
Wenn die Ebene E zu einer Tangentialebene H des Kegels parallel
ist, so wurde schon ausgesprochen, daß E das Rotationshyperboloid und
seinen Asymptotenkegel parabolisch schneidet. Dabei treten zwei echte
Parabeln auf, solange E von H verschieden ist. Beim Zusammenfallen
von E und H aber arten beide Parabeln in Paare paralleler Geraden
aus: H hat mit dem Kegel eine Doppelgerade gemein, und das ist die
Berührungsgerade; mit dem Hyperboloid hat H ein Paar paralleler Geraden
gemein, und zwar ein reelles Paar beim einteiligen, ein imaginäres beim
zweiteiligen Hyperboloid. Im Falle des einteiligen Hyperboloids und
seines Asymptotenkegels wird man bei weiterer Überlegung gerade auf
den Satz geführt, welcher am Ende des ersten Absatzes dieses Paragraphen steht. Doch gehört das nicht in die darstellende Geometrie.
Die besprochenen Sätze haben meist nichts damit zu tun, daß die
Flächen Rotationsflächen sind. Aber bei Rotationsflächen treten sehr einfache Verhältnisse auf bezüglich der Hauptachsen der Schnittkurven. Eine
Ebene E, welche durch die Rotationsachse und senkrecht zu E geht, ist
wieder eine Symmetrieebene und ihre Schnittlinie mit E ist eine Symmetrieachse für die Schnittkurven von E mit der Fläche und mit ihrem
Asymptotenkegel.
~ 6. Konstruktion des ebenen Schnittes oder der Lichtgrenze und
des Schattens für ein senkrecht stehendes Rotationshyperboloid. Im
vorigen Paragraphen ist die Grundlage gegeben für die Lösung von Aufgaben, über das einteilige und zweiteilige Rotationshyperboloid, welche
den in ~~ 2, 4 behandelten Aufgaben entsprechen. Wenn ein elliptischer
Schnitt auftritt, sucht man zuerst die auf I liegenden Scheitel, daraus
den Mittelpunkt M. Dann betrachtet man den Parallelkreis der Fläche,
dessen Ebene durch MI geht, und man sucht auf ihm die beiden anderen
Scheitel. - Beim hyperbolischen Schnitt sind zwei Fälle zu unterscheiden. Die Scheitel der Hyperbel können auf der Schnittlinie von E
und E oder auf der dazu senkrechten anderen Symmetrieachse der Kurve
liegen. Im ersten Fall findet man die Scheitel unmittelbar, daraus folgt
der Mittelpunkt, und weiter bestimmt man die Asymptoten, wozu oben
alles Nötige gesagt ist. Im zweiten Fall kann man die Hyperbelscheitel
erst finden, wenn man den Mittelpunkt schon hat. Dieser Mittelpunkt
ist identisch mit dem Mittelpunkt der Hyperbel, in welcher E den