Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

212 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 4-5.
beleuchtung genügen wenige Worte üiber den Fall der Parallelbeleuchtung. Die Lichtgrenze ist eine Ellipse, deren Ebene durch den
Mittelpunkt des Rotationsellipsoids geht und dabei zur Richtung der
Lichtstrahlen konjugiert ist. Der Schatten auf TTi oder TT1 kann natürlich nur elliptisch sein. Wenn auf TT1 ein Teil des Schattens fällt, so
ist er perspektivisch affin zu dem hinter der Projektionsachse liegenden
Teil des Schattens in 1TT und ebenso perspektivisch affin zur Lichtgrenze.
Er wird am besten dadurch konstruiert, daß man die Aufrißschatten für
die Scheitel A, B,, D der Lichtgrenze sucht; A"B' und C'D' sind konjugierte Durchmesser der Schattenellipse in TT1.
~ 5. Einige Sätze über die beidei Rotationshyperboloide. Wenn eine
Hyperbel um eine ihrer Hauptachsen rotiert, entsteht ein Rotationshyperboloid, ein einteiliges oder zweiteiliges. Die Asymptoten der Hyperbel
erzeugen bei der Rotation den Asymptotenkegel der Fläche. Das einteilige Rotationshyperboloid ist an jeder Stelle sattelförmig, hyperbolisch
gekrümmt, das zweiteilige hat elliptische Krimmung. Das einteilige
Rotationshyperboloid enthält zwei Scharen von unendlich vielen Geraden,
die zur Rotationsachse windschief sind. Die Geraden sind so angeordnet,
daß es zu jeder Geraden g des Asymptotenkegels zwei parallele Geraden in der Fläche gibt. Diese gehen durch die Endpunkte eines Durchmessers d des engsten Kreises, des Kehlkreises, und zwar steht d auf g
senkrecht und die Ebene von d und g ist die Tangentialebene des Kegels
für die Berührungsgerade g.
Man betrachtet jetzt eines der beiden Rotationshyperboloide und
seinen Asymptotenkegel, weiter eine allgemeine schneidende Ebene E und
eine zu E parallele Ebene H, welche durch den Flächenmittelpunkt geht.
H kann nun mit dem Kegel nur den Mittelpunkt gemein haben oder
kann ihn längs einer Geraden berühren oder ihn in zwei gekreuzten Geraden schneiden. Iin ersten Falle schneidet E das Hyperboloid und den
Kegel elliptisch, im zweiten Fall parabolisch und im dritten Fall hyperbolisch. Die elliptische Schnittkurve mit dem Hyperboloid ist beim einteiligen Hyperboloid stets reell und nicht punktförmig, beim zweiteiligen
Hyperboloid kann sie reell und endlich, oder punktföriiig oder eine
imaginäre Ellipse sein (punktförmig, falls E Berührungsebene ist). Tritt
eine Ellipse als Schnitt von E mit dem Hyperboloid auf, so ist sie konzentrisch und ähnlich mit der auf dem Kegel entstehenden Ellipse, die
Hauptachsen beider Kurven fallen auf dieselben Geraden. Schneidet E
die beiden Flächen hyperbolisch, dann hat man stets reelle Schnittkurven,
die beiden Hyperbeln haben gemeinsamen Mittelpunkt, die Hauptachsen
fallen auf dieselben zwei Geraden und die Asymptoten sind gemeinsam:
Damit sind aber die Hyperbeln noch nicht ähnlich, denn die beiden Paare
von Scheiteln müssen nicht auf derselben unter den zwei rechtwinkligen