Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 10-11. XVII. Abschnitt. Aufgaben über das Dreikant. 205
~ 10. Dreikant und Polardreikant. Nimmt man im Innern des von
den drei Flächen eines Dreikants begrenzten Raumteiles einen Punkt T
an und fällt von ihm Lote auf die Flächen, so bilden diese Lote das
Polardreikant des ursprünglichen Dreikants. Die Flächen beider Dreikante umschließen zusammengenommen einen Raumteil, dessen Begrenzungsflächen Vierecke mit je zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln sind.
Nennt man die Seiten und Winkel beim ursprünglichen Dreikant a, b, c,
a, ß, y und beim Polardreikant a', b', c', ', ß', y', dann folgen aus diesen
Vierecken die bekannten Beziehungen:
a' = 180~- a a' 180 -a
' = 1800~ b' = 180~ - p
y'180 - c c' 1800 y.
Im Anfang des Abschnittes wurden Ungleichungen für die Seiten,eines Dreikants gegeben. Schreibt man diese Ungleichungen für a', b', c',
so folgen daraus Ungleichungen für die Winkel c, 3, y.
Die bisher noch nicht behandelte Aufgabe, ein Dreikant mit den
gegebenen Winkeln cc, /, y zu konstruieren, läßt sich dadurch lösen,
daß man ein Dreikant mit den Seiten a' =180~ - c, b'= 180~- ß,.c'= 180~ - y (das Polardreikant des gesuchten Dreikants) betrachtet, seine
Winkel o', ', y' sind die Supplemente der gesuchten Seiten a, b, c.
Eine andere Lösung der Aufgabe wird in ~ 14 besprochen.
~ 11. Fortsetzung. Der von den beiden Dreikanten begrenzte Körper
soll jetzt durch seinen Grundriß dargestellt werden, wenn die Fläche der
Seite c in TTU liegt, und es soll die wahre Gestalt aller Flächen des
Körpers bestimmt werden (Fig. 112). T ist dabei nicht willkürlich genommen, sondern es sind die drei von S ausgehenden Kanten des Körpers
SA, SB und SC gleich lang gewählt, d. h. durch die Endpunkte dieser
gleichen Strecken sind senkrechte Ebenen zu den Kanten gelegt (soweit
sich diese Ebenen noch im Innern des von den Flächen des ursprünglichen Dreikants begrenzten Raumteiles schneiden, bilden sie ein Polardreikant desselben).
Man legt die drei Seiten a, b, c nebeneinander, schneidet die Schenkel
mit einem Kreisbogen und erhält damit die Punkte A, B, C0, C~. Die
Kreistangenten in diesen Punkten liefern die Vierecke ASSBN, ASCo-o10
und BSC~L~, damit ist die wahre Gestalt dreier Flächen des Körpers
gefunden. Genaue Konstruktion erfordert die Nachprüfung der Gleichheit der von N, M0 und L~ ausgehenden Kreistangenten.
Die Lage von C im Raum ergibt sich durch Drehung der beiden
äußeren Vierecke um SA und SB, bis sie zusammenstoßen. Dadurch
findet man C' wie früher, auch die Höhe von C wäre leicht zu finden,
ist aber nicht weiter nötig. Bestimmt man G und 1 wie in ~ 1, so
fallen auf C'G und C'HI die Grundrisse zweier Kanten CM und CL des