Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

202 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 6-7.
zur zweiten Formel des oben stehenden Systems (mit vertauschten Buchstaben) gekommen.
Diese Herleitung der drei Formeln aus der Fig. 110a wurde früher
auf Bellavitis zurückgeführt, jedoch finden sich die ersten beiden Formeln
genau so bei Oppel (1720-1769) bewiesen, der noch einige Vorläufer
hatte, vergl. v. Braunmühl, Geschichte der Trigonometrie II, S. 99, 100.
Dieselben Formeln hat Euler in seiner elementaren Abhandlung über
sphärische Trigonometrie (1779) aufgestellt und zur Grundlage der sphärischen Trigonometrie gemacht. Die spätere Fig. 112 (Taf. VII) bietet
ebenfalls einen einfachen Beweis von Formeln der sphärischen Trigonometrie, vgl. den Schluß von ~ 11.
~ 7. Betrachtung eines teilweise veränderlichen Dreikantes. Im
Anschluß an Fig. 110 soll der Zusammenhang von n, b, c und a untersucht werden, wenn b und c fest sind und a und c als veränderlich gelten.
Ob man a oder a als die unabhängig veränderliche Größe nimmt, ist
gleichgültig. Die Dreiecke C0 C'E und G C*H, welche p oder y enthalten, bleiben fort, ebenso die Geraden CoG und CIH und einige Kreisbogen. Die jetzt nötige Figur besteht deshalb zunächst aus folgenden
Teilen: einem Kreisbogen um den Punkt S, drei festen Radien SB, SA
und SCo, welche Winkel gleich den festen Seiten c und b des Dreikants
bilden, und einem beweglichen Radius SC~, welcher mit SB einen Winkel
gleich der veränderlichen Seite a bildet. Weiter enthält die Figur ein von
CO ausgehendes Lot zu SA. Dieses schneidet SA in D und ist eine
feste Gerade in der Figur; auf ihm liegt der veränderliche Punkt C'. Zugleich liegt C' auf einer zu SB senkrechten Geraden, welche von CO
ausgeht. Endlich würde noch das Dreieck CooC'D zu der Figur gehören,
in ihm tritt ac auf. Das Dreieck ist mit C' und CO veränderlich. Aber
es läßt sich in folgender Art einsparen, indem man eine Skala an seine
Stelle setzt.
In Fig. 111 ist das Dreieck fortgelassen, der feste Radius SB ist
wagrecht gelegt, und der Kreisradius diene als Längeneinheit. Das von
CO auf SA gefällte Lot SD ist verlängert, bis es den Kreis wieder trifft.
Dadurch ist es eine von SA halbierte Sehne C0CO des Kreises, und es
hat die Länge 2. sin b. C' liegt mit CO auf einer Vertikalen, weiter liegt
es auf der Sehne und steht von ihrer Mitte D um sin b. cos a ab. Bei
spitzemi a liegt C' zwischen D und C0, bei stumpfem a zwischen D und
Co. Die einzelnen Punkte der Sehne sind den Werten von a eindeutig
zugeordnet. Man kann die Sehne so einteilen, daß die Teilstriche den
Werten 0~, 10~, 200..., 900..., 170~, 1800 und geeigneten Zwischenwerten entsprechen. Dann läßt sich durch Interpolation zu jeder Lage
von C' das o oder zu jedem a das C' finden.