Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 6-7. XVI. Abschnitt. Vermischte stereometrische Aufgaben. 191
Achsen in TTr liegen, sind die Achsen und die in TT1 befindlichen Geraden
gegeben. Für die gegenseitige Lage gibt es vier Fälle, wenn man von
Berührungen absieht. Erstens kann die Grundrißprojektion der einen
Kegelfläche ganz ins Innere der andern fallen, dann wird der eine Kegel
vom andern umschlossen, und beide haben nur M gemeinsam. Zweitens
können die Grundrisse der Flächen vollständig getrennt liegen, abgesehen
vom gemeinsamen Mittelpunkt, dann kehren die Flächen einander die
konvexe Seite zu und haben auch keine Schnittgeraden. Drittens können
die Grundrisse einander teilweise überdecken und dabei zusammengenommen
noch nicht die ganze Grundrißebene erfüllen; dann findet die Uberdeckung
in einem einzigen Paar von Scheitelwinkeln statt und die Flächen haben
zwei Geraden gemein. Viertens können die Grundrisse der Flächen die
ganze Ebene TT- erfüllen und dabei zwei Paare von Scheitelwinkeln doppelt
bedecken, dann haben die Flächen vier Schnittgeraden.
In Fig. 105 sind nur Halbkegel dargestellt und man hat den dritten
Fall, wo es zwei Schnittgeraden gibt. Diese liegen symmetrisch zu TTI
und lassen sich zeichnen, sobald man von jeder einen von M verschiedenen
Punkt kennt. Man nimmt wie im Abschnitt über Durchdringungen krummflächiger Körper eine Hilfsflache und zwar eine Kugel um 3M.) Sie
schneidet jeden vollständigen Kegel in einem Paar von Kreisen, deren
Ebenen zur Kegelachse senkrecht stehen; in der Figur tritt wegen der
Halbkegel von jedem Paar nur ein Kreis auf. Man findet seinen horizontalen Durchmesser AB bzw. CD. Diese beiden Strecken sind gleichzeitig die Grundrißprojektionen der Kreise. Ihr Schnittpunkt P' ist der
Grundriß der beiden zu TT[ symmetrischen Punkte, in denen die Kreise
sich schneiden. Man braucht bloß noch aus der Umlegung eines der
Kreise2) die Entfernung dieser Punkte Pt und P2 von TT1 zu bestimmen
und kennt dann die Lage der Punkte und damit die Lage der beiden
Schnittgeraden der Kegel.
~ 7. Anwendung auf die Bestimmung einer Geraden, welche durch
P geht und gegebene y, und 72 hat. Die kürzeste und elementarste Lösung
dieser Aufgabe steht in ~ 2. Eine andere Lösung beruht auf den Betrachtungen des letzten Paragraphen.
Die Achsen beider Kegel sind die Projektionslote von P, und die in TTI
und TT2 liegenden Basiskreise erhält man nach ~1. Dann hat man in der durch
beide Kegelachsen bestimmten Ebene die Konstruktion des vorigen Paragraphen durchzuführen, und dazu legt man diese Ebene um ihre Grundrißspur
in TTi um oder besser man verschiebt sie nach der Umlegung in derRichtung
der Projektionsachse, so daß man mit einem Seitenriß arbeitet. Das Verfahren ist umständlicher als das von ~ 2, aber die Konstruktion im Seiten1) XV. Abschn. ~ 32.
2) Die Umlegung des kleineren Kreises gibt das Gesuchte am genauesten.