Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 2-3. XVI. Abschnitt. Vermischte stereometrische Aufgaben. 189
~ 2. Konstruktion einer Geraden g, welche durch P geht und gegebene Neigungswinkel y, und y, hat. (y, + y2 < 900 nach I. Abschn.
~ 13.) Das einfachste Verfahren ist folgendes (Fig. 103 auf Taf. VII).
Man zeichnet den Basiskreis des auf TT1 stehenden Kegels und hat
damit einen geometrischen Ort für den Spurpunkt G1 der Geraden. Auch
ist dann durch P" Q" die Länge 1 der Geraden zwischen P und G1 gefunden.
Weil g mit T12 den Winkel 72 bildet, so hat G1 von der durch P
zu 1TT parallel gelegten Ebene den. Abstand l sin 2, das gibt für G1
einen zweiten geometrischen Ort, ein Paar von Geraden, die zur Projektionsachse parallel sind und P' zwischen sich enthalten. Weiter hat P''"G
die bekannte Länge t cos 2. Zu reellen Lösungen kommt man bei
1 sin y2 < l cos Yi, was auf die frühere Ungleichung yi + y2 900 herauskommt.
Die Aufgabe läßt sich noch auf andere Art lösen, indem man die
Gerade als Schnittlinie zweier Kegel auffaßt. Dieses Verfahren wird in
~ 7 besprochen.
~ 3. Die Ebenen durch P mit gegebenem Neigungswinkel gegen TTi
oder TT2. Alle Ebenen durch P mit gemeinsamem Neigungswinkel cc
gegen TTH sind Tangentialebenen eines Rotationskegels, dessen Spitze P
und dessen Achse das erste Projektionslot von P ist. Die einzelnen
Mantelgeraden dieses Kegels haben selbst den Neigungswinkel ac gegen
TTT, daraus läßt sich der in TTi liegende Basiskreis zeichnen. Die Grundrißspur jeder der betrachteten Ebenen berührt diesen Basiskreis. - Entsprechendes gilt für die durch P gehenden Ebenen mit gegebenem a2.
Ist eine Gerade g gegeben und soll durch sie eine Ebene E mit gegebenem ci gelegt werden, so wählt man zunächst auf g einen Punkt P
(z. B. G2), zeichnet in TTi den Basiskreis des Kegels und findet ei als
Tangente von Ga an diesen Kreis. ca muß mindestens gleich dem Neigungswinkel der Geraden gegen TTH sein, und dann gibt es zwei oder bei
Gleichheit der beiden Winkel eine Lösung.
Zusatz. Soll eine Ebene E durch eine Gerade g so gelegt werden,
daß sie mit einer gegebenen Ebene H einen gegebenen Winkel bildet,
so ergibt sich aus dem vorigen folgende Behandlung: Man wählt
einen Punkt P von g, bestimmt Fußpunkt und Länge des von P auf H
gefällten Lotes PF. E muß einen Kegel berühren, der PF als Höhe
hat, und dessen in H liegender Basiskreis k nun bekannten Radius hat.
E geht durch eine der Tangenten, welche an k vom Schnittpunkt des g
mit H gelegt werden. Damit die Aufgabe lösbar ist, muß der gegebene
Neigungswinkel mindestens so groß sein wie der Winkel zwischen g und H.
Bei der Konstruktion legt man H mit k und dem Schnittpunkt von g
und H um, etwa in iTT. Die in der Umlegung gezogenen Tangenten