Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

188 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~ 1.
XVI. Abschnitt.
Vermischte stereometrische Aufgaben.
Wie im Vorwort unter näherer Begründung ausgesprochen ist, werden
hier eine Reihe von Aufgaben behandelt, die sich auf Punkte, Geraden
und Ebenen, Kegel u. dgl. beziehen und die z. T. schon weit früher stehen
könnten. Daran schließen sich im nächsten Abschnitt Aufgaben über
das Dreikant an.
Dieser Abschnitt enthält in ~~ 1-4 die elementaren Betrachtungen
über Geraden und Ebenen, von denen einer der Neigungswinkel gegen 1TT
und TT2 oder diese beiden Neigungswinkel gegeben sind. Dann folgt eine
von Monge stammende Lösung der Aufgabe, den Neigungswinkel von
zwei durch ihre Spuren gegebenen Ebenen zu bestimmen (~ 5).
Die Aufgaben von ~~ 6-10 bilden eine Gruppe für sich, es handelt
sich um die gemeinsamen Geraden und die gemeinsamen Tangentialebenen
zweier konzentrischer Rotationskegel und um die Anwendungen davon
auf die Konstruktion einer Geraden oder einer Ebene mit gegebenen
Neigungswinkeln gegen TT, und 1TT. Eingeschaltet ist als Hilfsmittel
eine Aufgabe über Kugeln, und es folgt in ~ 11 eine andere Methode
der Bestimmung von E aus gegebenen Ci und cc, welche engen Zusammenhang mit einer später zu bringenden Behandlung von Dreikantaufgaben hat.
Dann folgen Aufgaben über Kugeln: Tangentialebenen der Kugel
durch eine gegebene Gerade (~ 12), Schnittlinie von zwei Kugeln und
Schnittpunkte von drei Kugeln (~~ 13, 14). - Den Schluß bildet die
Behandlung der Sonnenuhren (~~ 15, 16).
Der Abschnitt bringt neben einfacheren und ausführlich behandelten
Aufgaben auch schwere Aufgaben, teils ohne Figuren und mit knappem Text.
~ 1. Die Geraden durch P mit gegebenem Neigungswinkel gegen TTW
oder TT1. Die Gesamtheit der Geraden, welche durch einen Punkt P
gehen und gegen TT1 den Neigungswinkel y, besitzen, liegen auf einem
geraden Kreiskegel vom Mittelpunkt P, dessen Achse senkrecht zu TT1
steht. Der Basiskreis in TT1 hat die mit cotg y7 multiplizierte Höhe von
P zum Radius. Ebenso findet man den geometrischen Ort für den Aufrißspurpunkt einer Geraden, welche durch P geht und gegen 1TT den
Neigungswinkel y, besitzt.
Ist eine Ebene E durch ihre Spuren, ferner ein in E liegender Punkt P
gegeben, und soll eine Gerade g in E durch P gelegt werden, welche gegebenen Neigungswinkel y, hat, so findet man den Grundrißspurpunkt
von g als Schnitt von ei mit dem Basiskreis des oben besprochenen Kegels.
Je nachdem 71 kleiner, ebenso groß oder größer als der Neigungswinkel a,
von E ist, hat man zwei, eine oder keine Lösung.