Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 34-35. XV. Abschnitt. Durchdringungen krummflächiger Körper. 187
der Basisellipse oder die von S' ausgehenden Tangenten an die Evolute
der Ellipse. Die Konstruktion werde hier nicht näher besprochen.
~ 35. Die Abwicklung eines Kegelmantels niachl Moiige oder iiach:Frezier. Die eben behandelte Bestimmung der Durchdringungskurve
eines Kegels von elliptischer Basis in TTI und einer um seine Spitze gelegten Kugel findet sich in den Grundzügen schon bei Monge. Er macht
eine hüsche Anwendung davon zur Abwicklung des Kegelmantels. Er
betrachtet nämlich, nachdem er die Kurve näherungsweise ans einer verhältnisminäßig geringen Anzahl von Punkten bestimmt hat, die Zylinderfläche mit vertikaler Achse, die von der Kurve und ihrem Grundriß begrenzt wird. Die einzelnen genau konstruierten Kurvenpunkte teilen die
Kurve in eine Anzahl endlicher Stücke, deren Grundrißbogen man leicht
näherungsweise rektifizieren kann, indem man statt dieser Bogen Sehnenzüge setzt (vgl. den Abschnitt über Kreisrektifikation). Dann läßt sich
die Abwicklung des an einer Geraden aufgeschnittenen Zylindermantels
zeichnen, analog wie im XI. Abschn. ~ 3.1) Hiermit hat man die Abwicklung der Durchdringungskurve selbst und kann nun deren einzelne Bogenstücke rektifizieren. Im abgewickelten Kegelmantel ist die
Durchdringungskurve ein Kreisbogen vom Radius r, weil alle Kurvenpunkte von S den Abstand r haben. Auf diesen Kreisbogen kann man
nun die einzelnen Punkte der Kurve mittels der bekannten Längen
der zwischen ihnen enthaltenen Bogen übertragen. Damit erhält man in
der Abwicklung die Lage der durch diese Teilpunkte gehenden Mantelgeraden des Kegels. Die Längen dieser Mantelgeraden sind aber von
früher her bekannt, daraus folgen die Endpunkte der Mantelgeraden und
damit diese abgewickelte Basislinie selbst, wobei man in den konstruierten
Punkten der abgewickelten Basis auch die Tangenten finden kann.
Diese Mongesche Methode zur Abwicklung eines Kegels, der in TT
eine elliptische (oder auch allgemeinere) Basiskurve hat, ist natürlich nicht,so elementar als das naheliegende andere Verfahren, bei dem man statt
des Kegels eine ihm eingeschriebene Pyramide mit recht kurzen Basiskanten abwickelt2). Dieses Verfahren stammt von Frezier, ist dem Prinzip
nach sehr einfach, erfordert aber kurze Basiskanten der Pyramide und
damit auch viele Konstruktionsarbeit. Es ist, nach Chr. Wiener, ~mit
Vorsicht gebraucht, ebenfalls genau"3). - Haußner widerspricht allerdings
in den Anmerkungen zu seiner Ausgabe des Mongeschen Werkes in den
Ostwaldschen Klassikern dem günstigen Urteil Wieners über die Mongesche Kegelabwicklung. G. Hauck brachte im Kolleg das Mongesche Verfahren und ließ es in den Übungen durchführen.
1) Man wird dabei in einigen oder allen genau bestimmten Kurvenpunkten die
Tangenten konstruieren. - 2) ~ 16. - 3) Wiener II, S. 58.