Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

186 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 33 34.
zwei Punkte hindurchgehen, haben gemeinsamen Aufriß und haben gleiche
Länge, weil die Aufrisse der auf ihnen in gleichen Entfernungen von S
liegenden Punkte zusammenfallen. Die Grundrisse der zwei Mantelgeraden
sind deshalb auch gleich lang. Daraus lassen sich die auf der Basisellipse liegenden Endpunkte dieser Mantelgeraden finden. Sie sind die
Endpunkte der Ellipsensehne, welche zur Projektionsachse senkrecht ist
und halbiert wird durch die von S' ausgehende Parallele zur Projektionsachse. Man hat demnach nur den Ellipsendurchmesser zu bestimmen,
welcher alle zur Projektionsachse senkrechten Sehnen halbiert; sein Schnittpunkt mit der durch S' zur Projektionsachse gezogenen Parallelen ist die
Mitte der Sehne, deren Endpunkte die gesuchten Mantelgeraden liefern.
Auf diesen Mantelgeraden folgen dann die zwei Punkte, deren gemeinsamer Aufriß der Doppelpunkt der Aufrißprojektion der Schnittkurve ist.
~ 34. Fortsetzung. Der Grundriß der Durchdringungskurve verläuft, wenn r klein genug ist, ganz im Innern der Basisellipse des Kegels.
Die Kurve selbst zieht sich ganz um den Kegel herum, kreuzt demnach
die beiden Mantelgeraden seines zweiten Umrisses je einmal. Diesen
Kreuzungsstellen entsprechen im Aufriß Berührungsstellen der Kurvenprojektion mit dem Umriß der Kegelprojektion, wenigstens wenn die
Tangente der Durchdringungskurve in dem betreffenden Kreuzungspunkt
nicht zu TT2 senkrecht ist. Diese Berührungsstellen hat man sofort.
Ein weiteres Paar von ausgezeichneten Punkten des Kurvenaufrisses
sind die Berüihrungsstellen mit dem Umriß der Projektion der Kugel.
Das sind die Aufrisse der beiden Punkte der Kurve, welche in der durch
S parallel zu 1TT gehenden Ebene sich befinden. Die beiden Mantelgeraden in dieser Ebene und die auf ihnen liegenden Kurvenpunkte erhält
man leicht.
Die Tangente der Kurve an einem ihrer genau konstruierten Punkte,
P, gehört den beiden Tangentialebenen an, welche in P den Kegel und
die Kugel berühren. Die Konstruktion der Grundrißspur für die Tangentialebene des Kegels ist früher besprochen worden. Für die Kugel ist
~ 20 im VI. Abschn. zu vergleichen, doch eignet sich hier besonders die
im XVIII. Abschn. ~ 1 angegebene Konstruktion, von der man schon
einen Teil der Linien hat. Dann folgt der Grundrißspurpunkt der
Kurventangente von P. Interesse bieten noch die horizontalen Tangenten
der Kurve auf dem Kegel (denen auch im Aufriß horizontale Tangenten
entsprechen). Die Höhen ihrer Berührungspunkte sind im allgemeinen
Maxima oder Minima unter den Höhen der Kurvenpunkte.1) Dies tritt für
Punkte der Mantelgeraden ein, deren Längen selbst Maxima oder Minima
sind, die Grundrisse dieser Geraden sind die von S' ausgehenden Normalen
1) Auf höhere Fälle, welche durch Zusammenrücken entstehen, soll nicht eingegangen werden.